Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.3 - Ex. 51
Nos Exercícios 51-54, use uma integral definida para determinar a área da região entre a curva dada e o eixo no intervalo .
51.
Passo 1
De início, o que precisamos fazer é dividir a área dessa curva utilizando reatângulos de mesma largura. Utiliza-se esse método porque retângulos apresentam uma geometria simples e que, por consequência, facilita bastante o cálculo da área. Sendo assim, temos que a largura dos retângulos, assim como discutido na seção 3 do George, é:
Como os intervalos são de , logo:
Passo 2
Como os retângulos possuem mesma largura, teremos o seguinte:
Ademais, temos:
Sabemos que a área de um retângulo é dada pela multiplicação entre sua base e sua altura, certo? Sendo assim, sabendo que a altura é determinada pela função que nos foi dada e que a largura é a mesma para todos os retângulos, assim como discutido no passo 1, basta encontrarmos uma expressão geral para a área desse retângulo para depois aplicarmos na soma de Riemann, beleza? Só parece difícil, mas prometo que não é. Se liga!
Passo 3
Se fizermos as áreas de cada retângulo, teremos:
Para a área do primeiro, segundo e, por fim, enésimo retângulo, respectivamente, teremos:
Agora que já chegamos em uma equação genérica para o cálculo da área do enésimo retângulo, basta fazermos a substituição dos valores encontrados na famosa Soma de Riemann, que é a seguinte:
Passo 4
Bom, mas o que seria ? Se , então teremos que:
Substituindo na Soma de Riemann, teremos:
Como a somatória está em função de , então:
A somatória dos quadrados dos primeiros números naturais positivos é:
Substituindo na somatória, teremos:
Se fizermos as distributivas certinho, teremos: