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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 57

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) .

57. y = e^(c o s^2 ( pi t - 1 ))

Passo 1

De ínicio, galera, precisamos lembrar de como derivamos uma função exponencial, belê? Para derivarmos uma função exponencial, a relação é essa aqui:

(a^(f (t)))^' = a^(f (t)) . ln a . ( f ( t ) ) '

Sendo assim, a única coisa que precisamos determinar então é ( f ( t ) ) ' . No nosso caso, temos que:

f (t) = c o s^2 ( pi t - 1 )

Passo 2

Agora que sabemos o que teremos que derivar de fato, temos que para derivar essa função cosseno precisaremos utilizar a regra da cadeia, beleza? Como se trata de uma função bem simples, teremos:

(f (t))^' = 2 . cos (pi t - 1) . (- s e n (pi t - 1)) . ( pi t - 1 ) '

:. (f (t))^' = - 2 . cos (pi t - 1) . s e n (pi t - 1) . pi

Passo 3

Agora que descobrimos f ' , basta substituirmos lá na fórmula. Se fizermos isso, teremos que (d y)/(d t) será:

(d y)/(d t) = - e^(c o s^2 (pi t - 1)) . ln e . 2 pi . cos (pi t - 1) . s e n (pi t - 1)

:. (d y)/(d t) = - 2 pi . e^(c o s^2 (pi t - 1)) . cos (pi t - 1) . s e n (pi t - 1)

Resposta

(d y)/(d t) = - 2 pi . e^(c o s^2 (pi t - 1)) . cos (pi t - 1) . s e n (pi t - 1)

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