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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 64

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) .

64. y = (1)/(6) . (1 + c o s^2 (7 t)) ³

Passo 1

Para resolvermos essa questão, a regra que utilizaremos é a regra da cadeia, beleza? No entanto, utilizaremos ela DUAS vezes. Sim, duas vezes! A primeira vez vai para derivar a função como um todo; a segunda vai ser para derivar aquela função cosseno ali, beleza? Derivando a primeira vez, teremos:

(d y)/(d t) = (1)/(6) . 3 . (1 + c o s^2 (7 t))^2 . (1 + c o s^2 (7 t))^'

:. (d y)/(d t) = (1)/(2) . (1 + c o s^2 (7 t))^2 . (1 + c o s^2 (7 t))^'

Passo 2

Agora que descobrimos a cara da derivada, basta que apliquemos uma regra da cadeia na função que queremos derivar, que nesse caso é g (t) = (1 + c o s^2 (7 t))^' . Lembrando que a regra da cadeia nos diz que:

(d g)/(d t) = (d g)/(d u) xx (d u)/(d t)

u = cos ( 7 t ) => (d u)/(d t) = - 7 . s e n ( 7 t )

g = u^2 => (d g)/(d u) = 2 u

Jogando na regra da cadeia, temos:

(d g)/(d t) = 2 u . ( - 7 . s e n (7 t) )

:. (d g)/(d t) = - 14 . cos (7 t) . s e n ( 7 t )

Passo 3

Agora que temos todos os dados que precisamos, basta substituirmos lá em (d y)/(d t) para obtermos o resultado final, se liga:

(d y)/(d t) = (1)/(2) . (1 + c o s^2 (7 t))^2 . (1 + c o s^2 (7 t))^'

(d y)/(d t) = (1)/(2) . (1 + c o s^2 (7 t))^2 . [- 14 . cos (7 t) . s e n (7 t)]

:. (d y)/(d t) = - 7 . (1 + c o s^2 (7 t))^2 . cos (7 t) . s e n (7 t)

Resposta

(d y)/(d t) = - 7 . (1 + c o s^2 (7 t))^2 . cos (7 t) . s e n (7 t)

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