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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 71

Calcule y ' ' nos Exercícios 71-78.

71. y = (1 + (1)/(x)) ³

Passo 1

Reescrevendo a função y , temos:

y = ( 1 + x^(- 1) ) ³

Para descobrirmos y ' , teremos que aplicar a regra da cadeia, beleza? Aplicando a regra, teremos:

y^' = 3 . (1 + x^(- 1))^(3 - 1) . ( 1 + x^(- 1) ) '

y^' = 3 . (1 + x^(- 1))^2 . ((- 1)/(x^2))

:. y^' = - 3 . ((1 + x^(- 1))^2)/(x ²)

Passo 2

Agora que já encontramos y ' , devemos derivar essa nossa função novamente para descobrirmos y ' ' , beleza? A diferença agora é que teremos que utilizar a regra do produto para descobrirmos essa derivada. A regra do produto nos diz que:

y^(' ') = u^' . v + u . v '

u = - (3)/(x ²)

v = (1 + x^(- 1))^2

Agora só precisamos descobrir u ' e v ' para substituir na regra, ok? Bora lá!

Passo 3

u = - 3 . x^(- 2)

:. u^' = 6 . x^(- 3)

Agora para descobrirmos v ' , vamos utilizar o mesmo raciocínio utilizado no passo 1, ok?

v = (1 + x^(- 1))^2

v^' = 2 . (1 + x^(- 1)) . (1 + x^(- 1)) '

v^' = 2 . (1 + x^(- 1)) . ((- 1)/(x^2))

:. v^' = - 2 . ((1 + x^(- 1)))/(x ²)

Passo 4

Substituindo os valores encontrados na regra do produto, teremos:

y^(' ') = u^' . v + u . v '

y^(' ') = 6 . x^(- 3) . (1 + x^(- 1))^2 + 3 . x^(- 2) . 2 . ((1 + x^(- 1)))/(x ²)

:. y^(' ') = (6 . (1 + x^(- 1))^2)/(x ³) + (6 . (1 + x^(- 1)))/(x^4)

Resposta

y^(' ') = (6 . (1 + x^(- 1))^2)/(x ³) + (6 . (1 + x^(- 1)))/(x^4)

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