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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 49

Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada.

y = θ + 5 θ cos ⁡ θ

Passo 1

Aplicar a derivação logarítmica quer dizer que vamos primeiro colocar o log dos dois lados!

ln ⁡ y = ln ⁡ θ + 5 θ cos ⁡ θ = ln ⁡ ( θ + 5 θ cos ⁡ θ - 1 ) = ln ⁡ θ + 5 + ln ⁡ θ cos ⁡ θ - 1 = ln ⁡ θ + 5 - ln ⁡ θ cos ⁡ θ = ln ⁡ ( θ + 5 ) - ln ⁡ θ - ln ⁡ ( cos ⁡ θ )

Passo 2

Agora vamos derivar ambos os lados! Para o lado esquerdo temos uma função composta e por isso usamos a regra da cadeia ficando com

ln ⁡ y ' = 1 y y '

Já para o lado direito vamos ter que

ln ⁡ ( θ + 5 ) - ln ⁡ θ - ln ⁡ ( cos ⁡ θ ) ' = ln ⁡ θ + 5 ' + ln ⁡ θ ' + ln ⁡ cos ⁡ θ '

Passo 3

Para derivar o termo do meio basta consultarmos a tabela das derivadas e temos que

ln ⁡ θ ' = 1 θ

Para derivar os demais termos vamos ter que usar a regra da cadeia. Para o primeiro temos a composição de f θ = ln ⁡ θ com g θ = θ + 5

ln ⁡ θ + 5 ' = f ' g θ ⋅ g ' θ

Pela tabela de derivadas temos que

f ' θ = 1 θ

g ' θ = 1

Logo,

ln ⁡ θ + 5 ' = 1 θ + 5

Para o último temos a composição de h θ = ln ⁡ θ com w θ = cos ⁡ θ

ln ⁡ cos ⁡ θ ' = h ' w θ ⋅ w ' θ

Pela tabela de derivadas temos que

h ' θ = 1 θ

w ' θ = - sen ⁡ θ

Logo,

ln ⁡ cos ⁡ θ ' = 1 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ = - tg ⁡ θ  

Passo 4

Juntando tudo temos que

1 y y ' = 1 θ + 5 - 1 θ + tg ⁡ θ

Fazendo o MMC dos 2 primeiros termos, temos que

1 y y ' = 1 θ + 5 - 1 θ + tg ⁡ θ = θ - θ + 5 θ + 5 θ + tg ⁡ θ = - 5 θ + 5 θ + tg ⁡ θ

Mas, pelo enunciado y = θ + 5 θ cos ⁡ θ . Portanto,

y ' = θ + 5 θ cos ⁡ θ ⋅ - 5 θ + 5 θ + tg ⁡ θ

Resposta

y ' = θ + 5 θ cos ⁡ θ ⋅ - 5 θ + 5 θ + tg ⁡ θ

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Calcule a derivadah) y = x^(x^2) + 1
y = (1 + (1)/(x))^x
y = ln ( 1 + x^x )
Calculel) y = ( 2 + sin x )^(cos 3 x)
Calcule a derivada.d) y = (2 x + 1)^x