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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 60

Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso

y = ln ⁡ θ 1 + θ

Passo 1

Sempre que tiver um log, vamos ver se não conseguimos usar as propriedades para facilitar a função:

y = ln ⁡ ( θ ) - ln ⁡ 1 + θ

Antes de sair derivando, precisamos sempre verificar se não existe nenhuma função dentro da outra. Em termos matemáticos, temos que ver se não existe nenhuma composta!

Caso tenha, precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Para ambos os termos vamos usar a regra cadeia. O primeiro é a composição de f θ = ln ⁡ θ com g θ = θ . Assim, pela regra da cadeia

ln ⁡ θ ' = f ' g θ ⋅ g ' θ

Passo 3

Precisamos obter então f ' e g ' . A primeira derivada sai direto da tabela de derivadas e vale

f ' θ = 1 θ

A segunda derivada também sai da tabela e vale

g ' θ = 1 2 θ

Logo,

ln ⁡ θ ' = 1 θ ⋅ 1 2 θ = 1 2 θ

Passo 4

O segundo é a composição de h θ = ln ⁡ θ com w θ = 1 + θ . Assim, pela regra da cadeia

ln ⁡ 1 + θ ' = h ' w θ ⋅ w ' θ

Passo 5

Precisamos obter então h ' e w ' . A primeira derivada sai direto da tabela de derivadas e vale

h ' θ = 1 θ

A segunda derivada também sai da tabela e vale

w ' θ = 1 ' + θ ' = 0 + 1 2 θ = 1 2 θ

Logo,

ln ⁡ 1 + θ ' = 1 1 + θ ⋅ 1 2 θ = 1 2 1 + θ θ

Passo 6

Juntando tudo temos que

y ' = ln ⁡ θ ' - ln ⁡ 1 + θ ' = 1 2 θ - 1 2 1 + θ θ

Resposta

y ' = 1 2 θ - 1 2 1 + θ θ

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