Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

2 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2   d x ≤ 2 2

Passo 1

Vamos lá, se:

- 1 ≤ x ≤ 1

Então o quadrado de x fica:

0 ≤ x 2 ≤ 1

Vamos somar 1 agora a x 2 , vamos ficar com:

1 ≤ 1 + x 2 ≤ 2

Agora tirando a raiz:

1 ≤ 1 + x 2 ≤ 2 → 1 ≤ 1 + x 2 ≤ 2

Vamos usar agora uma das Propriedades Comparativas da Integral, a 8 , que diz:

Se m ≤ f x ≤ M para a ≤ x ≤ b , então:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x ≤ M b - a

Vamos aplicar então:

1 1 - - 1 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2   d x ≤ 2 1 - - 1 → 1 1 + 1 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2   d x ≤ 2 1 + 1 → 2 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2   d x ≤ 2 2

Pronto, chegamos a desigualdade.

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