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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 57

Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

2 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2   d x ≤ 2 2

Passo 1

Vamos lá, se:

- 1 ≤ x ≤ 1

Então o quadrado de x fica:

0 ≤ x 2 ≤ 1

Vamos somar 1 agora a x 2 , vamos ficar com:

1 ≤ 1 + x 2 ≤ 2

Agora tirando a raiz:

1 ≤ 1 + x 2 ≤ 2 → 1 ≤ 1 + x 2 ≤ 2

Vamos usar agora uma das Propriedades Comparativas da Integral, a 8 , que diz:

Se m ≤ f x ≤ M para a ≤ x ≤ b , então:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x ≤ M b - a

Vamos aplicar então:

1 1 - - 1 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2   d x ≤ 2 1 - - 1 → 1 1 + 1 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2   d x ≤ 2 1 + 1 → 2 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2   d x ≤ 2 2

Pronto, chegamos a desigualdade.

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Calcule a integral definida ∫ 0 π ( 2 sen ⁡ x + 3 cos ⁡ x + 1 )d x usando os resultados: ∫ 0 π sen ⁡ x d x = 2 ∫ 0 π cos ⁡ xd x = 0 ∫ 0 π sin 2 ⁡ xd x = 1 2 π
Calcule a integral definida ∫ - 1 2 ( x - 1 ) ( 2 x + 3 )d x usando os resultados: ∫ - 1 2 x 2 d x = 3 ∫ - 1 2 xd x = 3 2
Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada: ∫ - 2 1 x 3 d x (Teorema dado no livro)
Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada: ∫ 0 4 x 2 d x (Teorema dado no livro)
Use o Teorema 5.6.8 para determinar qual dos símbolos ≤ ou ≥ deve ser inserido onde indicado. ∫ 4 5 6 - xd x_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ∫ 4 5 x - 2d x (Teorema dado no livro)