Nos Exercícios 7-12, use o método da casca para determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir.

y = 2x, y = x / 2, x = 1

Passo 1

Vamos lembrar do método da casca que é um método para calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π r a i o   d a c a s c a a l t u r a d a   c a s c a

Como o volume é em torno de y , o raio da casca é igual a x . Já a altura da casca é igual a 2 x - x 2 .

Assim,

V = ∫ 0 1 2 π x 2 x - x 2 d x = ∫ 0 1 2 π x 3 x 2 d x = 3 π ∫ 0 1 x 2 d x

Passo 2

Calculando a integral:

V = 3 π ∫ 0 1 x 2 d x = 3 π x 3 3 0 1 = π x 3 0 1 = π 1 3 - 0 3 = π

Resposta

π

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