Enunciado

Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

x =   2 y - y 2 ; x = 0

Passo 1

Temos a seguinte imagem gráfica:

Logo, podemos perceber que a variação no eixo y é 0 < y ≤ 2

Queremos usar o método da casca, porém a rotação agora é em torno do eixo x, logo, devemos usar a seguinte fórmula:

V =   ∫ a b 2 π y   f y d y

Em que f y =   2 y - y 2

Substituindo da fórmula acima, temos:

V =   ∫ 0 2 2 π y   (   2 y - y 2 ) d y

= 2 π ∫ 0 2 ( 2 y 2 - y 3 )   d y = 2 π 2 3 y 3 - y 4 4 2 0

= 2 π 16 3 - 4 = 2 π . ( 16 - 12 ) 3 = 2 π 4 3 = 8 π 3

Resposta

8 π 3

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