Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 41

Um toro é gerado pela rotação do círculo ao redor do eixo . Ache o volume delimitado pelo toro.

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos encontrar o volume gerado pela rotação de um círculo em torno do eixo .

Para saber o volume que está sendo usado devemos resolver a integral:

Veja bem, para achar primeiro temos que assumir uma relação entre os raios e , vamos assumir que . Agora vamos isolar o termo do círculo:

Vamos pegar a parte positiva do círculo, e integrar multiplicando o resultado por dois, assim vamos ter as duas partes:

Vamos calcular em função de , assim podemos usar os limites de integração como e , como os valores de e , respectivamente:

Passo 2

Agora vamos fazer substituição, para ficar mais simples, do termo , podemos usar a expressão relacionada a ele, pois quando derivarmos vai ficar apenas uma constante:

Derivando:

Vamos também mudar os limites de integração, assim não vai ser preciso voltar para a variável anterior, a gente vai poder só aplicar:

Vamos substituir:

Passo 3

Para calcular esses limites vamos usar a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Com a primeira vamos fazer uma substituição:

Substituindo:

Agora é simples para achar as primitivas da função, vamos usar duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Assim ficamos com:

Não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo:

Passo 4

Bem, com a segunda podemos usar a Regra da Substituição Trigonométrica, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos uma expressão da forma , podemos então usar a mudança de variável usando:

Vamos agora achar diferencial de , derivando:

E vamos mudar os limites de integração também:

Substituindo:

Passo 5

Vamos calcular cada uma separadamente:

A primeira é simples, para achar as primitivas da função, vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

Assim:

Com a segunda vamos fazer uma substituição, pois o cosseno possui uma constante dentro dele:

Derivando:

Vamos substituir:

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Aplicando:

Passo 6

Agora vamos juntar tudo:

Não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo:

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo: