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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 37

Nos Exercícios de 1 a 52, efetue a antidiferenciação.

37 )   ∫ ( t g   2 x + c o t g   ( 2 x ) ) ² . d x

Passo 1

Para começar, vamos abrir a integral:

∫ ( t g   2 x + c o t g   ( 2 x ) ) ² . d x = ∫ ( t g ²   2 x + 2 . t g   2 x . c o t g   2 x + c o t g ²   ( 2 x ) ) . d x

Lembrando:

t g   2 x = s e n   2 x cos ⁡   ( 2 x )    

c o t g   2 x = c o s   2 x sen ⁡   ( 2 x )

∫ t g 2 2 x + 2 . s e n   2 x cos ⁡   2 x . c o s   2 x sen ⁡   2 x + c o t g 2 2 x . d x = ∫ t g 2 2 x + 2 + c o t g 2 2 x . d x = ∫ t g 2 2 x . d x + ∫ 2 d x + ∫ c o t g 2 2 x . d x

Se substituirmos

2 x = u

Derivando:

2 . d x = d u

d x = d u 2

Então:

= 1 2 ∫ t g 2 u . d u + 2 x + 1 2 ∫ c o t g 2 u . d u

Lembrando que:

t g 2 u = s e c ²   u - 1

c o t g 2 u = c o s e c ²   u - 1

= 1 2 ∫ ( s e c ²   u - 1 ) . d u + 2 x + 1 2 ∫ ( c o s e c ²   u - 1 ) . d u = 1 2 ∫ s e c ²   u . d u - ∫ d u + 2 x + 1 2 ∫ c o s e c 2 u . d u - ∫ d u = 1 2 [ t g   u - u ] + 2 x + 1 2 [ - c o t g   u - u ]

Substituindo u:

= 1 2 t g   2 x - 2 x + 2 x + 1 2 - c o t g 2 x - 2 x = t g   2 x 2 - c o t g 2 x 2

Resposta

∫ ( t g   2 x + c o t g   ( 2 x ) ) ² . d x = t g   2 x 2 - c o t g 2 x 2 + C

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