Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 84

Nos Exercícios 79-84, determine o valor de ( f ∘ g ) ' no valor fornecido de x.

84. f u = ( u - 1 ) ² ( u + 1 ) ² ,         u = g x = 1 x ² - 1 ,         x = - 1

Passo 1

Então pessoal, para derivarmos uma função composta, isto é, uma função que tem como domínio a imagem de outra função, precisaremos aplicar a regra da cadeia, que nos diz o seguinte:

f ∘ g ' x = d y d x = d y d u × d u d x

Utilizaremos, conforme discutido na seção 6 do George, a notação de Leibniz, que facilita bastante o entendimento da derivada, beleza? Nessa questão, temos que:

y =   ( u - 1 ) ² ( u + 1 ) ²

u =   1 x ² - 1

Passo 2

Então galera, para derivarmos y , precisaremos utilizar a regra do quociente, que nos diz o seguinte:

y ' = w ' . v - w . v ' v ²

w = u - 1 2 ⇒ w ' = 2 ( u - 1 )

v = u + 1 2 ⇒ v ' = 2 ( u + 1 )

Jogando na regra do quociente, temos:

d y d u = 2 u - 1 . u + 1 2 - u - 1 2 . 2 ( u + 1 ) ( u + 1 2 ) ²

d y d u = 2 u - 1 u + 1 [ u + 1 - u - 1 ] u + 1 3

∴ d y d u = 4 ( u 2 - 1 ) ( u + 1 ) ³

Passo 3

Ademais, agora só precisamos determinar a derivada de u :

d u d x = - 2 . x - 3

Jogando os valores que encontramos na regra da cadeia, temos:

d y d x = 4 u 2 - 1 u + 1 3 . ( - 2 . x - 3 )

d y d x = - 8 ( x - 2 - 1 2 - 1 ) ( x - 2 - 1 + 1 ) ³ . x - 3

Substituindo o ponto dado, que é x = - 1 , temos:

d y d x = - 8 - 1 1 . - 1 = - 8

∴ f ∘ g ' - 1 = - 8

Resposta

f ∘ g ' - 1 = - 8

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a derivada da função: r = 2 θs e n θ
Determine a derivada da função: y= x 5-0,125 x 2+0,25 x
Determine a derivada da função: s = sec ⁡ t +t gt5
Determine a derivada da função: y = 1 s e n 2 x - 2 s e nx
Determine a derivada da função: y = x 7 + 7 x - 1 π + 1