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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 32

Nos exercícios 25 a 34, ache (d y)/(d x) .

32. y = (x sqrt(3 + 2 x))/(4 x - 1)

Passo 1

Precisamos derivar a função com relação a x:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ((x sqrt(3 + 2 x))/(4 x - 1))

Para resolvermos a derivada vamos precisar aplicar a Regra do Quociente:

(d)/(d x) ((f ( x ))/(g ( x ))) = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' ( x ))/(g ( x )^2)

Nossa derivada vai ficar:

(d)/(d x) ((x sqrt(3 + 2 x))/(4 x - 1)) = ((d)/(d x) (x sqrt(3 + 2 x)) (4 x - 1) - (x sqrt(3 + 2 x)) (d)/(d x) (4 x - 1))/((4 x - 1)^2)

Passo 2

Vamos resolver a primeira derivada que apareceu:

(d)/(d x) (x sqrt(3 + 2 x))

Vamos precisar aplicar a Regra do Produto:

(d)/(d x) [f (x) g ( x )] = f^' (x) g (x) + f (x) g ' ( x )

Então vamos ficar com:

(d)/(d x) (x sqrt(3 + 2 x)) = (d)/(d x) ( x ) sqrt(3 + 2 x) + x (d)/(d x) ( sqrt(3 + 2 x) )

A primeira derivada que apareceu é simples de ser resolvida:

(d)/(d x) (x) = 1

A segunda vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia. Derivamos primeiro a função de fora:

(d)/(d t) (sqrt(t)) = (1)/(2 sqrt(t))

Substituímos o t pela função de dentro e multiplicamos pela sua derivada:

(d)/(d x) (sqrt(3 + 2 x)) = (1)/(2 sqrt(3 + 2 x)) (d)/(d x) (3 + 2 x)

Resolvendo a última derivada:

(d)/(d x) (sqrt(3 + 2 x)) = (1)/(sqrt(3 + 2 x))

Agora podemos substituir o resultado na derivada anterior:

(d)/(d x) (x sqrt(3 + 2 x)) = sqrt(3 + 2 x) + (x)/(sqrt(3 + 2 x))

Passo 3

E por fim podemos substituir o resultado na Regra do Quociente do Passo 1:

(d)/(d x) ((x sqrt(3 + 2 x))/(4 x - 1)) = ((sqrt(3 + 2 x) + (x)/(sqrt(3 + 2 x))) (4 x - 1) - (x sqrt(3 + 2 x)) (d)/(d x) (4 x - 1))/((4 x - 1)^2)

Como

(d)/(d x) (4 x - 1) = 4

Podemos finalmente escrever a derivada que buscamos:

(d)/(d x) ((x sqrt(3 + 2 x))/(4 x - 1)) = ((sqrt(3 + 2 x) + (x)/(sqrt(3 + 2 x))) (4 x - 1) - 4 (x sqrt(3 + 2 x)))/((4 x - 1)^2)

Reescrevendo:

(d y)/(d x) = (4 x^2 - 3 x - 3)/(sqrt(2 x + 3) (4 x - 1)^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (4 x^2 - 3 x - 3)/(sqrt(2 x + 3) (4 x - 1)^2)

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Encontre f ' ( x ) f x = t g x
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Encontre f ' ( x ) f x = cos 2 ⁡ 3 x
Encontre d y / d x y = xt g 3 ( x )