Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 54
51 – 54 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
54.
Passo 1
Fala aí. Tudo belezinha com você?
Bom, essa questão pede pra gente encontrar uma equação da reta tangente à curva da função:
No ponto:
E pra isso precisamos lembrar que a definição da derivada de uma função em um ponto específico é, justamente, o coeficiente angular da reta tangente a curva da função nesse ponto.
E a equação de uma reta em um ponto específico é:
Sendo seu coeficiente angular. Sendo assim:
Então, basta encontrarmos a derivada da curva no ponto dado e fazer a substituição na equação da reta tangente.
Vem que te ajudo com isso.
Passo 2
Vamos fazer a derivada da curva no ponto, sendo:
Opa!
Essa função aí não é tão simples de derivar não. Vamos com mais calma aqui. Beleza!
Perceba que essa função é formada por uma multiplicação de duas outras funções. Podemos pensar nelas como sendo:
E
E nossa função está sendo vista com
Sendo assim, sua derivada deve ser calculada usando a regra do produto.
Sendo:
Então precisaremos das funções , e de suas derivadas. Vamos derivar cada uma delas pra depois jogar nessa fórmula aí. Show!
Passo 3
Sendo
Sua derivada é bem simples, e se dá pela regra do expoente. Com
Já para
Temos aqui uma função composta, pois a exponencial pode ser pensada como
Então sua derivada será calculada pela regra da cadeia.
Ou seja, a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.
Como estamos fazendo
Sua derivada será:
Então:
Ou melhor:
Show, agora vamos voltar para a regra do produto.
Passo 4
Até aqui temos:
Com
E
Com
Sendo assim, sua derivada deve ser calculada usando a regra do produto.
Sendo:
Substituindo teremos
Isolando :
Perfeito!!!
Aplicando no ponto dado:
O coeficiente angular da nossa reta é:
Passo 5
Agora basta substituir o ponto e o coenficiente angular na equação da reta tangente.
Sendo
A equação da reta fica:
Prontinho, temos a nossa resposta.