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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 26

Nos exercícios 25 a 34, ache (d y)/(d x) .

26. y = sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x)

Passo 1

Nesse caso não precisamos derivar a função implicitamente, pois não há nenhuma função sobre y.

Então basta fazermos:

y ' = (d)/(d x) ( sqrt(1 + x) - sqrt(1 - x ))

Separando:

y^' = (d)/(d x) (sqrt(1 + x)) - (d)/(d x) ( sqrt(1 - x ))

Passo 2

Vamos resolver a primeira derivada:

(d)/(d x) (sqrt(1 + x))

Aplicando a Regra da Cadeia, derivamos primeiro a função de fora:

(d)/(d t) (sqrt(t)) = (1)/(2 sqrt(t))

Então substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:

(1)/(2 sqrt(1 + x)) (d)/(d x) ( 1 + x )

Que será:

(1)/(2 sqrt(1 + x))

Passo 3

Para a outra derivada:

(d)/(d x) ( sqrt(1 - x ))

A gente segue o mesmo raciocínio, derivamos primeiro a função de fora:

(d)/(d t) (sqrt(t)) = (1)/(2 sqrt(t))

Substituímos t pela função de dentro e multiplicamos pela sua derivada:

(1)/(2 sqrt(1 - x)) (d)/(d x) ( 1 - x )

Que vai ficar:

(- 1)/(2 sqrt(1 - x))

Passo 4

Beleza, vamos substituir cada um dos resultados dos Passos 2 e 3 na nossa y^' do Passo 1:

y^' = (d)/(d x) (sqrt(1 + x)) - (d)/(d x) ( sqrt(1 - x ))

y^' = (1)/(2 sqrt(1 + x)) - (- 1)/(2 sqrt(1 - x))

E então:

y^' = (d y)/(d x) = (1)/(2 sqrt(1 + x)) + (1)/(2 sqrt(1 - x))

Resposta

(d y)/(d x) = (1)/(2 sqrt(1 + x)) + (1)/(2 sqrt(1 - x))

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Encontre f ' ( x ) f x = t g 4 ( x 3 )
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. Se y = f x , então d d x y = f ' x
Lembre que d d x x = 1 ,x0 - 1 ,x0 Use esse resultado para encontrar d d x sin ⁡ x Para x diferente de zero no intervalo - π ,π .
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se y = cos ⁡ g x , então d y d x = - sin ⁡ g ' x
Use a fórmula derivada de sin ⁡ x e a identidade cos ⁡ x = sin ⁡ π 2 - x para obter a fórmula da derivada de cos ⁡ x .