Nos exercícios de 17 a 24, ache dy .

y = cotg(2x) \* cosec(2x)

Passo 1

Essa questão é bem simples, basta apenas que você lembre do teorema 4.9 . 3 , que diz:

d y = f ' ( x ) d x

Além disso, é conveniente denotar y = f ( x ) , ou seja:

f x = c o t g 2 x c o s e c 2 x

Passo 2

Antes de fazer qualquer coisa, que tal simplificarmos as funções fornecidas e obtermos algo que conhecemos?

Então vamos lá:

c o t g 2 x = 1 t g 2 x = cos ⁡ 2 x s e n 2 x

E também:

c o s e c 2 x = 1 s e n 2 x

Do que temos:

c o t g 2 x c o s e c 2 x = cos ⁡ 2 x s e n 2 x ∙ 1 s e n 2 x = cos ⁡ 2 x s e n 2 2 x  

Que resulta em:

f x = cos ⁡ 2 x s e n 2 2 x

Passo 3

Para simplificar, vamos chamar 2 x = t , do que temos:

f t = cos ⁡ t s e n 2 t

Façamos u = c o s ⁡ ( t ) e v = s e n 2 ( t ) , então f t = u v .

Queremos f ' ( t ) certo? Usando a regra do quociente:

d u v d t = u ' v - u v ' v 2

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:

u ' = cos ⁡ t ' = - s e n t

E ainda:

v ' = s e n 2 t ' = 2 s e n ( t ) c o s ⁡ ( t )

Do que temos que:

u ' v - u v ' = - s e n t s e n 2 t - cos ⁡ t 2 s e n t cos ⁡ t

Ou seja:

u ' v - u v ' = - s e n 3 t - 2 s e n t cos 2 ⁡ ( t )

Passo 5

Por fim, temos:

f ' t = - s e n 3 t - 2 s e n t cos 2 ⁡ t s e n 4 t = - 2 c o s e c t [ 1 + 2 cot 2 ⁡ t ]

Ou ainda:

f ' x = - 2 c o s e c 2 x [ 1 + 2 cot 2 ⁡ ( 2 x ) ]

Resposta

d y = - 2 c o s e c 2 x [ 1 + 2 cot 2 ⁡ ( 2 x ) ] d x

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