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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.9 - Ex. 22

Nos exercícios de 17 a 24, ache d y .

y = c o t g (2 x) c o s e c (2 x)

Passo 1

Essa questão é bem simples, basta apenas que você lembre do teorema 4.9 . 3 , que diz:

d y = f ' ( x ) d x

Além disso, é conveniente denotar y = f ( x ) , ou seja:

f (x) = c o t g (2 x) c o s e c (2 x)

Passo 2

Antes de fazer qualquer coisa, que tal simplificarmos as funções fornecidas e obtermos algo que conhecemos?

Então vamos lá:

c o t g (2 x) = (1)/(t g (2 x)) = (cos (2 x))/(s e n (2 x))

E também:

c o s e c (2 x) = (1)/(s e n (2 x))

Do que temos:

c o t g (2 x) c o s e c (2 x) = (cos (2 x))/(s e n (2 x)) * (1)/(s e n (2 x)) = (cos (2 x))/(s e n^2 (2 x))

Que resulta em:

f (x) = (cos (2 x))/(s e n^2 (2 x))

Passo 3

Para simplificar, vamos chamar 2 x = t , do que temos:

f (t) = (cos (t))/(s e n^2 (t))

Façamos u = c o s ( t ) e v = s e n^2 ( t ) , então f (t) = (u)/(v) .

Queremos f ' ( t ) certo? Usando a regra do quociente:

(d ((u)/(v)))/(d t) = (u^' v - u v^')/(v^2)

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:

u^' = (cos (t))^' = - s e n (t)

E ainda:

v^' = (s e n^2 (t))^' = 2 s e n ( t ) c o s ( t )

Do que temos que:

u^' v - u v^' = (- s e n (t)) s e n^2 t - cos (t) [2 s e n (t) cos (t)]

Ou seja:

u^' v - u v^' = - s e n^3 t - 2 s e n (t) cos^2 ( t )

Passo 5

Por fim, temos:

f^' (t) = (- s e n^3 t - 2 s e n (t) cos^2 (t))/(s e n^4 t) = - 2 c o s e c (t) [ 1 + 2 cot^2 t ]

Ou ainda:

f^' (x) = - 2 c o s e c (2 x) [ 1 + 2 cot^2 ( 2 x ) ]

Resposta

d y = - 2 c o s e c (2 x) [ 1 + 2 cot^2 ( 2 x ) ] d x

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