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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.14 - Ex. 4

Seja y = x 2 + 3 x .

a) Calcule a diferencial.

b) Calcule o erro que se comete na aproximação de Δ y   por d y . Interprete graficamente.

Passo 1

a) A derivada de y em relação a x é dada por:

d y d x = 2 x + 3

Assim, sua diferencial, d x , é dada por:

d y = 2 x + 3 d x

Passo 2

b) A variação de y em uma variação de x de tamanho d x é dada por:

Δ y = x + d x 2 + 3 x + d x - x 2 + 3 x

Δ y = x 2 + 2 x   d x + d x 2 + 3 x + 3 d x - x 2 - 3 x

Δ y = 2 x   d x + d x 2 + 3 d x

Então, o erro é de:

Δ y - d y = 2 x   d x + d x 2 + 3 d x - 2 x + 3 d x

Δ y - d y = 2 x   d x + d x 2 + 3 d x - 2 x   d x - 3 d x

Δ y - d y = d x 2

Assim, o erro que cometemos, aproximando Δ y   por d y correspondente ao quadrado da variação de x .

Resposta

a)

d y = 2 x + 3 d x

b)

Δ y - d y = d x 2

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