Nos Exercícios de 47 a 50, ache f'(a) aplicando a fórmula (7).

50) f(x) = raiz(1 + 9x); a = 7

Passo 1

A fórmula (7) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim x → x 1 ⁡ f x - f ( x 1 ) x - x 1

Assumindo que f ( x ) = 1 + 9 x , temos:

Logo, aplicando na definição:

f ' ( 7 ) = lim x → 7 ⁡ 1 + 9 x - 1 + 9.7 x - 7

Simplificando, temos:

f ' ( 7 ) = lim x → 7 ⁡ 1 + 9 x - 8 x - 7

Multiplicando numerador e denominador por 1 + 9 x + 8 , teremos:

f ' ( 7 ) = lim x → 7 ⁡ ( 1 + 9 x - 8 ) ( x - 7 ) . 1 + 9 x + 8 1 + 9 x + 8

Utilizando a diferença de quadrados ( a 2 - b 2 = a + b . a - b ) conseguimos simplificar a expressão:

f' ( 7 ) = lim                       x → 7 ⁡ 1 2 . 1 + 9 x

Na variável a:

f ' a = 1 2 . 1 + 9 a

Substituindo a = 7

f ' 7 = 1 16

Resposta

f ' 7 = 1 16

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