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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 15

Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada.

15 .     f x = 3 s e c x   t g ( x )

Passo 1

Nós queremos a derivada da função f x = 3 s e c x t g ⁡ ( x ) .

Que também podemos deixá-la na forma f x = 3 ( s e c x tg ⁡ x ) .

A partir daí fica fácil pois vamos usar a regra do produto para derivar.

Regra do produto:

f x ⋅ g x '   = f x   ' ⋅ g x + g x ' ⋅ f x

Passo 2

Derivando:

f ' x = 3 ' ⋅ ( s e c x   t g x ) + s e c x   t g x ' ⋅ 3

Passo 3

Observe que para descobrirmos quem é f ' x temos que descobrir primeiro quem é s e c x   t g x ' e para isso vamos usar a regra do produto mais uma vez apenas nesse termo, ou seja:

            s e c x   t g x ' = s e c x ' ⋅ t g x + s e c x ⋅ t g x '

Passo 4

Pela trigonometria sabemos que:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x      

t g x = s e n x cos ⁡ x

Então:

1º - Derivada de s e c ⁡ ( x ) :

1 cos ⁡ x       ' = 1 ' ⋅ cos ⁡ x - 1 ⋅ ( c o s x ) ' c o s ² x

                                            = s e n x c o s ² x

                                            =   s e n x c o s x ⋅ 1 c o s x = t g x   s e c x

2º - Derivada de t g ⁡ ( x ) :

s e n x cos ⁡ x ' = s e n x ' ⋅ cos ⁡ x - s e n x ⋅ ( c o s x ) ' c o s ² x

                                          = c o s 2 x + s e n ² x c o s ² x

                                          = 1 c o s ² x = s e c ² x

Passo 5

Agora jogamos o resultado na equação do Passo 3 para conseguirmos   s e c x   t g x ' :

s e c x   t g x ' = t g x   s e c x ⋅ t g x + s e c x ⋅ s e c ² x

    = t g 2 x   s e c x + s e c ³ x

Passo 6

Agora que achamos o que falta, podemos voltar para nossa derivada inicial substituindo o que encontramos para conseguir o nosso resultado.

f ' x = 3 ' ⋅ ( s e c x   t g x ) + s e c x   t g x ' ⋅ 3

                      = 0 ⋅ s e c x   t g x + ( t g 2 x   s e c x + s e c 3 x ) ⋅ 3

                      =   3 s e c x ( t g 2 x   + s e c ² x )

Resposta

f ' x = 3 s e c ⁡ ( x ) ( t g 2 ( x )   + s e c ² ( x ) )

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