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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 45b

45. b) Ache

underset(h -> 0)(lim) (t g ((pi)/(4) + h) - t g ((pi)/(4)))/(h) ,

Interpretando-o como uma derivada.

Passo 1

Primeiro vamos lembrar da definição de derivada:

f^' (x) = underset(x -> 0)(l i m) (f (x + h) - f (x))/(h)

Comparando com a expressão que temos do enunciado a função f (x) = t g x e o x = (pi)/(4) . Assim temos a seguinte igualdade:

f^' ((pi)/(4)) = underset(h -> 0)(lim) (t g ((pi)/(4) + h) - t g ((pi)/(4)))/(h)

Então para achar o limite, basta calcular a derivada de f (x) = t g x , em x = (pi)/(4) .

Passo 2

Derivando:

f (x) = t g x

f^' (x) = sec^2 x

Passo 3

Agora vamos calcular f’(x) para x = (pi)/(4) :

f^' (x) = sec^2 x

f^' ((pi)/(4)) = sec^2 ((pi)/(4))

= (1)/(cos^2 ((pi)/(4)))

= (1)/(((sqrt(2))/(2))^2) = ((2)/(sqrt(2)))^2 = (4)/(2) = 2

Resposta

underset(h -> 0)(lim) (t g ((pi)/(4) + h) - t g ((pi)/(4)))/(h) = 2

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