Nos exercícios de 17 a 30, ache a derivada da função dada:

g(x) = ln(senh(x³))

Passo 1

Quando a gente olha uma função deste tipo, já dá um pouquinho de medo ! Mas calma, que é bem tranquilo !

Se nós lembrarmos do Teorema 8.4.3:

D x   senh ⁡ u = c o s h   u . D x u

Legal, já sabemos como derivamos o seno hiperbólico, mas não é bem isso que queremos, já que temos o seno hiperbólico dentro do ln. Então o que fazemos?

Podemos usar a Regra da Cadeia que vai nos ajudar bastante. Ela nos diz para derivar a função “de fora” e multiplicar pela derivada da “de dentro”, ou seja:

g ' ( x ) = D x   ln ⁡   senh ⁡   x 3 . D x   senh ⁡ ( x ³ )

Vamos por parte:

D x   ln ⁡   senh ⁡   x 3 = 1 senh ⁡   x 3

Muito bem! Para derivar a função seno hiperbólico podemos chamar:

u = x ³

Nós precisamos de D x u , então vamos derivar nosso u:

D x u = 3 x ²

Para acabar, é só substituir:

g ' ( x ) = 1 senh ⁡   ( x ³ ) . cosh ⁡   ( x ³ ) . 3 x ²

Para simplificar, podemos lembrar que:

cotg h ⁡   ( x ³ ) = cosh ⁡   ( x ³ ) senh ⁡   ( x ³ )

g ' ( x ) = 3 x ² . cotgh ⁡   ( x ³ )

Resposta

g ' x = 3 x ² . cotgh ⁡   ( x ³ )

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