Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 24
Demonstre as fórmulas dadas na tabela 1 para as derivadas das funções (a) , (b) , (c) , (d) e (e) .
Passo 1
Faaala meus queridos.
Nessa questão, queremos demonstrar que as derivadas das funções hiperbólicas dadas na tabela 1 do livro estão corretas.
Para isso vamos usar as fórmulas das funções cosseno e seno hiperbólico:
E para obter as demais funções, vamos usar as relações que funcionam para as funções trigonométricas e também funcionam aqui nas hiperbólicas:
E depois vamos derivar as expressões obtidas e ver se elas batem com as fórmulas dadas na tabela 1.
Passo 2
Se o (cosseno hiperbólico de ) é dado por:
Então:
Derivando o lado direito, nós temos que:
E la no Passo 1, eu mostrei que esse cara aí na direita nada mais é que o seno hiperbólico.
Passo 3
Se (tangente hiperbólica de ) é dada por:
Então:
Derivando o lado direito, aplicando a regra do quociente, nós teremos:
Como , teremos:
Passo 4
De forma que temos:
Passo 5
De forma que temos:
Passo 6
De forma que temos:
Logo,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)