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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 24

Demonstre as fórmulas dadas na tabela 1 para as derivadas das funções (a) c o s h , (b) t g h , (c) c o s s e c h , (d) s e c h e (e) c o t g h .

Passo 1

Faaala meus queridos.

Nessa questão, queremos demonstrar que as derivadas das funções hiperbólicas dadas na tabela 1 do livro estão corretas.

Para isso vamos usar as fórmulas das funções cosseno e seno hiperbólico:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

senh ⁡ x = e x - e - x 2

E para obter as demais funções, vamos usar as relações que funcionam para as funções trigonométricas e também funcionam aqui nas hiperbólicas:

t g h x = s e n h x cosh ⁡ x

c o s s e c h x = 1 s e n h x

sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x

c o t g h x = 1 t g h x = cosh ⁡ x s e n h x

E depois vamos derivar as expressões obtidas e ver se elas batem com as fórmulas dadas na tabela 1.

Passo 2

Se o cosh ⁡ x (cosseno hiperbólico de x ) é dado por:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Então:

d d x cosh ⁡ x = d d x e x + e - x 2

d d x cosh ⁡ x = 1 2 d d x e x + e - x

Derivando o lado direito, nós temos que:

d d x cosh ⁡ x = 1 2 e x - e - x

d d x cosh ⁡ x = e x - e - x 2

E la no Passo 1, eu mostrei que esse cara aí na direita nada mais é que o seno hiperbólico.

d d x cosh ⁡ x = senh ⁡ x

Passo 3

Se tgh ⁡ x (tangente hiperbólica de x ) é dada por:

tgh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Então:

d d x tgh ⁡ x = d d x e x - e - x e x + e - x

Derivando o lado direito, aplicando a regra do quociente, nós teremos:

d d x tgh ⁡ x = e x + e - x e x + e - x - e x - e - x e x - e - x e x + e - x 2

d d x tgh ⁡ x = e 2 x + 2 e x e - x + e - 2 x - e 2 x + 2 e x e - x - e - 2 x e x + e - x 2

Como e x e - x = 1 , teremos:

d d x tgh ⁡ x = 2 e x + e - x 2

d d x tgh ⁡ x = sech 2 ⁡ x

Passo 4

d d x cossech ⁡ x = d d x 1 senh ⁡ x

d d x cossech ⁡ x = d d x senh ⁡ x - 1

d d x cossech ⁡ x = - 1 senh ⁡ x - 2 cosh ⁡ x

De forma que temos:

d d x cossech ⁡ x = - cosh ⁡ x s e n h 2 x

d d x cossech ⁡ x = - cotgh ⁡ x cossech ⁡ x

Passo 5

d d x sech ⁡ x = d d x 1 cosh ⁡ x

d d x sech ⁡ x = d d x cosh ⁡ x - 1

d d x sech ⁡ x = - 1 cosh ⁡ x - 2 senh ⁡ x

De forma que temos:

d d x sech ⁡ x = - senh ⁡ x cosh 2 ⁡ x

d d x sech ⁡ x = - tgh ⁡ x sech ⁡ x

Passo 6

d d x cotgh ⁡ x = d d x 1 tgh ⁡ x

d d x cotgh ⁡ x = d d x tgh ⁡ x - 1

d d x cotgh ⁡ x = - 1 tgh ⁡ x - 2 sech 2 ⁡ x

De forma que temos:

d d x cotgh ⁡ x = - sech 2 ⁡ x t g h 2   x

d d x cotgh ⁡ x = - cosh 2 ⁡ x s e n h 2 x × 1 cosh 2 ⁡ x

Logo,

d d x cotgh ⁡ x = - cossech 2 ⁡ x

Resposta

(a) d d x cosh ⁡ x = senh ⁡ x

(b) d d x tgh ⁡ x = sech 2 ⁡ x

(c) d d x cossech ⁡ x = - cotgh ⁡ x cossech ⁡ x

(d) d d x sech ⁡ x = - tgh ⁡ x sech ⁡ x

(e) d d x cotgh ⁡ x = - cossech 2 ⁡ x

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Demonstre as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções a seguir(a) c o s h - 1 (b) t g h - 1 (c)c o s s e c h - 1 (d) s e c h - 1 (e) c o t g h - 1
Encontre a derivada da função dada:g (x) = x^2 sen^(- 1) 2 x
Encontre a derivada da função dada:f (t) = senh^(- 1) e^(2 t)
Encontre a derivada da função dada:f (z) = (cotgh^(- 1) z^2)^3
Encontre a derivada da função dada:h (x) = (sech^(- 1) x)^2