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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 43

Nos Exercícios de 34 a 43, calcule a integral indefinida:

4 3 ) ∫ t g h   x . ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) .   d x

Passo 1

Lembrando que:

t g h   x = s e n h   x c o s h   x

Então:

∫ t g h   x . ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) .   d x = ∫ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) . s e n h   x c o s h   x   d x

Usando:

u = cosh ⁡ x

d u = s e n h   x . d x

Então:

∫ ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) . s e n h   x c o s h   x   d x = ∫ ln ⁡ ( u ) . d u u

Para resolver esta integral podemos usar outra substituição:

z = ln ⁡ u

d z = d u u

∫ ln ⁡ ( u ) . d u u = ∫ z . d z = z 2 2

Substituindo novamente:

z 2 2 = ( ln ⁡ u ) 2 2 = ( ln ⁡ cosh ⁡ x ) 2 2

Resposta

∫ t g h   x . ln ⁡ ( cosh ⁡ x ) .   d x = ( ln ⁡ cosh ⁡ x ) 2 2 + C

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