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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 29

Demonstre as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções a seguir

(a) c o s h - 1

(b) t g h - 1

(c)   c o s s e c h - 1

(d) s e c h - 1

(e) c o t g h - 1

Passo 1

Faaala pessoal!

Nessa questão temos 5 funções hiperbólicas inversas que são:

cosh - 1 ⁡

t g h - 1

c o s s e c h - 1

sech - 1 ⁡

c o t g h - 1

E nessa questão precisamos encontrar as derivadas delas.

Para isso, vamos tomar a seguinte estratégia.

Se temos que:

f - 1 x = a

Então podemos dizer que:

f a = x

Além disso, a inversa da função original resulta na entrada, ou seja:

f - 1 f a = a

O que faremos aqui, vai ser derivar essa expressão acima em termos de a para cada uma das 5 funções que nos foi dado.

Vai nos ajudar aqui saber algumas relações hiperbólicas:

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

E

1   - tgh 2 ⁡ x = sech 2 ⁡ x

Passo 2

Para a letra a) queremos encontrar a derivada de cosh - 1 ⁡ .

Seja cosh - 1 ⁡ x = a de modo que x = cosh ⁡ a , então:

cosh - 1 ⁡ x = a

cosh ⁡ a = x  

E pelo teorema que a inversa da original resulta na entrada, temos:

cosh - 1 ⁡ cosh ⁡ a = a

Se derivarmos a relação acima em função de a temos:

d d a cosh - 1 ⁡ cosh ⁡ a = d d a a

Usando a regra da cadeia, temos:

d d c o s h a cosh - 1 ⁡ cosh ⁡ a × d d a cosh ⁡ a = 1

No entanto, cosh ⁡ a = x , logo:

d d x cosh - 1 ⁡ x × d d a cosh ⁡ a = 1

A derivada do cosseno hiperbólico é o seno hiperbólico:

d d x cosh - 1 ⁡ x × senh ⁡ a = 1

d d x cosh - 1 ⁡ x = 1 senh ⁡ a

Agora se conseguirmos escrever o seno hiperbólico em função do cosseno hiperbólico, a gente mata a questão, afinal o cosseno hiperbólico é o meu x , lembra:

cosh ⁡ a = x

Para fazer isso, vamos usar a relação hiperbólica:

cosh 2 ⁡ a - senh 2 ⁡ a = 1  

senh 2 ⁡ a = cosh 2 ⁡ a - 1

  senh ⁡ a = cosh 2 ⁡ a - 1

E como x = cosh ⁡ a , então   senh ⁡ a = x 2 - 1

Logo:

d d x cosh - 1 ⁡ x = 1 x 2 - 1

Passo 3

Para a letra b) queremos encontrar a derivada de t g h - 1 .

Seja tgh - 1 ⁡ x = a de modo que x = tgh ⁡ a , então:

tgh - 1 ⁡ x = a

tgh ⁡ a = x  

Então, temos a relação:

tgh - 1 ⁡ tgh ⁡ a = a

Se derivarmos a relação em função de a com auxílio da regra da cadeia temos:

d d a tgh - 1 ⁡ tgh ⁡ a = d d a a

d d x tgh - 1 ⁡ x × d d a tgh ⁡ a = 1

d d x tgh - 1 ⁡ x × sech 2 ⁡ a = 1

d d x tgh - 1 ⁡ x = 1 sech 2 ⁡ a

Se

1   - tgh 2 ⁡ a = sech 2 ⁡ a

  sech ⁡ a = 1 - tgh 2 ⁡ a

E como x = tgh ⁡ a , então   sech ⁡ a = 1 - x 2

Logo:

d d x tgh - 1 ⁡ x = 1 1 - x 2

Passo 4

Para a letra c) queremos encontrar a derivada de c o s s e c h - 1 .

Seja cossech - 1 ⁡ x = a de modo que x = cossech ⁡ a , então:

cossech - 1 ⁡ x = a

cossech ⁡ a = x  

Então, temos a relação:

cossech - 1 ⁡ cossech ⁡ a = a

Se derivarmos a relação em função de a com auxílio da regra da cadeia temos:

d d a cossech - 1 ⁡ cossech ⁡ a = d d a a

d d x cossech - 1 ⁡ x × d d a cossech ⁡ a = 1

d d x cossech - 1 ⁡ x × - cossech ⁡ a cotgh ⁡ a = 1

d d x cossech - 1 ⁡ x = 1 - cossech ⁡ a cotgh ⁡ a

Se

cotgh 2 ⁡ a - 1 = cossech 2 ⁡ a

cotgh 2 ⁡ a = cossech 2 ⁡ a + 1

  cotgh ⁡ a = cossech 2 ⁡ a + 1

E como x = cossech ⁡ a , então   cotgh ⁡ a = x 2 + 1

Logo:

d d x cossech - 1 ⁡ x = - 1 x x 2 + 1

Passo 5

Para a letra d) queremos encontrar a derivada de s e c h - 1 .

Seja sech - 1 ⁡ x = a de modo que x = sech ⁡ a , então:

sech - 1 ⁡ x = a

  sech ⁡ a = x  

Então, temos a relação:

sech - 1 ⁡ sech ⁡ a = a

Se derivarmos a relação em função de a com auxílio da regra da cadeia temos:

d d a sech - 1 ⁡ sech ⁡ a = d d a a

d d x sech - 1 ⁡ x × d d a sech ⁡ a = 1

d d x sech - 1 ⁡ x × sech ⁡ a tgh ⁡ a = 1

d d x sech - 1 ⁡ x = 1 sech ⁡ a tgh ⁡ a

Se

1   - tgh 2 ⁡ a = sech 2 ⁡ a

1   - sech 2 ⁡ a = tgh 2 ⁡ a

  tgh ⁡ a = 1 - sech 2 ⁡ a

E como x = sech ⁡ a , então   tgh ⁡ a = 1 - x 2

Logo:

d d x sech - 1 ⁡ x = 1 x 1 - x 2

Passo 6

Para a letra e) queremos encontrar a derivada de c o t g h - 1 .

Seja cotgh - 1 ⁡ x = a de modo que x = cotgh ⁡ a , então:

cotgh - 1 ⁡ x = a

  cotgh ⁡ a = x

Então, temos a relação:

cotgh - 1 ⁡ cotgh ⁡ a = a

Se derivarmos a relação em função de a com auxílio da regra da cadeia temos:

d d a cotgh - 1 ⁡ cotgh ⁡ a = d d a a

d d x cotgh - 1 ⁡ x × d d a cotgh ⁡ a = 1

d d x cotgh - 1 ⁡ x × - cossech 2 ⁡ a = 1

d d x cotgh - 1 ⁡ x = 1 - cossech 2 ⁡ a

Se

cossech 2 ⁡ a = 1 - cotgh 2 ⁡ a

E como x = cotgh ⁡ a , então cossech 2 ⁡ a = 1 - x 2

Logo:

d d x cotgh - 1 ⁡ x = - 1 1 - x 2

Resposta

a)

d d x cosh - 1 ⁡ x = 1 x 2 - 1

b)

d d x tgh - 1 ⁡ x = 1 1 - x 2

c)

d d x cossech - 1 ⁡ x = - 1 x x 2 + 1

d)

d d x sech - 1 ⁡ x = 1 x 1 - x 2

e)

d d x cotgh - 1 ⁡ x = - 1 1 - x 2

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