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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 20

Encontre a derivada da função dada:

g (x) = tgh^(- 1) sen 3 x

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de senh^(- 1)

(tgh^(- 1) x)^' = (1)/(1 - x^2)

Temos que ficar atentos aqui, temos 3 funções.

Vamos fazer

g (x) = h (f (w (x)))

Com

h (x) = tgh^(- 1) x

f (x) = sen x

w (x) = 3 x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

g^' (x) = h^' (f (w (x))) (f (w (x)))^'

g^' (x) = h^' (f (w (x))) f^' (w (x)) w^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(1 - x^2)

Que é a derivada de tgh^(- 1)

Então

g^' (x) = (1)/(1 - (f (w (x)))^2) f^' (w (x)) w^' (x)

Passo 2

Vamos achar a derivada de f (x)

f (x) = sen x -> f^' (x) = cos x

Vamos ter

g^' (x) = (1)/(1 - (sen (w (x)))^2) cos (w (x)) w^' (x)

Passo 3

Vamos agora para w (x)

w (x) = 3 x -> w^' (x) = 3

Vamos ficar com:

g^' (x) = (1)/(1 - (sen (3 x))^2) cos (3 x) 3

g^' (x) = (3 cos 3 x)/(1 - sen^2 (3 x))

Lembrando que

1 - sen^2 3 x = cos^2 3 x

Vamos ter

g^' (x) = (3 cos 3 x)/(cos^2 3 x) = (3)/(cos 3 x)

Para finalizar, usamos:

(1)/(cos 3 x) = sec 3 x

g^' (x) = 3 sec 3 x

Resposta

g^' (x) = 3 sec 3 x

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Nos exercícios de 17 a 30, ache a derivada da função dada: 22 )g x = ln ⁡( senh ⁡( x ³ ) ) ³
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