Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y , da região limitada pelo gráfico de y = 2 x - 1 6 x 3 , pelo eixo x e pela reta x = 2 .

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 33

Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pela reta .

Passo 1

Pessoal, como vai ser a rotação em torno do eixo e temos uma função na variável , está perfeito para usarmos o método das cascas cilíndricas, ok?

Agora para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o volume sólido obtido pela rotação da região formada por em um intervalo .

Sempre quando a rotação é em torno do eixo , o e nossa , pois será área entre ela e o eixo . O intervalo de integração será de a reta , não poderia ser antes do , pois o eixo de rotação não pode cortar a figura rotacionada. Sendo assim, o volume é dado por:

Vamos confirmar olhando a figura da região abaixo:

Passo 2

Já podemos resolver a integral. Sabemos da integral definida que

Em que é uma primitiva de .

Devemos lembrar também que:

Dessa forma,

Logo, o volume é .

Resposta

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Use as cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido. Uma esfera de raio r .

A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. y = - x 2 + 6 x - 8 ,y = 0 ; em torno do eixo x

A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. y = - x 2 + 6 x - 8 , y = 0 , e mt o r n od oe i x oy

A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = 1 - y 4 ,x = 0 ; em torno de x = 2

Use as cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido. O toro sólido do Exercício 63 da Seção 6.2.