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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 33

Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y , da região limitada pelo gráfico de y = 2 x - 1 6 x 3 , pelo eixo x e pela reta x = 2 .

Passo 1

Pessoal, como vai ser a rotação em torno do eixo y e temos uma função na variável x , está perfeito para usarmos o método das cascas cilíndricas, ok?

Agora para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o volume sólido obtido pela rotação da região formada por f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

V = 2 π ∫ a b r x h ( x ) d x

Sempre quando a rotação é em torno do eixo y , o r x = x e nossa h x = f ( x ) = 2 x - 1 6 x 3 , pois será área entre ela e o eixo x . O intervalo de integração será de 0 a reta x = 2 , não poderia ser antes do 0 , pois o eixo de rotação não pode cortar a figura rotacionada. Sendo assim, o volume é dado por:

V = 2 π ∫ 0 2 x 2 x - 1 6 x 3 d x = 2 π ∫ 0 2 2 x 2 - 1 6 x 4 d x

Vamos confirmar olhando a figura da região abaixo:

Passo 2

Já podemos resolver a integral. Sabemos da integral definida que

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Devemos lembrar também que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C           n ≠ - 1

Dessa forma,

V = 2 π ∫ 0 2 2 x 2 - 1 6 x 4 d x = 2 π 2 x 3 3 - x 5 6 ⋅ 5 0 2 = 2 π 20 x 3 30 - x 5 30 0 2 = 2 π 30 20 x 3 - x 5 0 2

= π 15 20 x 3 - x 5 0 2 = π 15 20 ( 2 ) 3 - 2 5 - 20 ( 0 ) 3 - ( 0 ) 5

= π 15 20 ⋅ 8 - 32 = π 15 160 - 32 = 128 π 15   u . v

Logo, o volume é V = 128 π 15   u . v .

Resposta

V = 128 π 15   u . v

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A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = 1 - y 4 ,x = 0 ; em torno de x = 2
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