Nos exercícios de 13 a 24, ache a derivada da função dada

19) D_x[ (2x - 5)^(-1) * (4x + 3)^(-2) ]

Passo 1

Para resolvermos a derivada da função, vamos aplicar primeiro a regra do produto:

f x g x = f ' x g x + f x g ' ( x )

Então fica:

d d x 2 x - 5 - 1 4 x + 3 - 2 + 2 x - 5 - 1 d d x [ 4 x + 3 - 2 ]

Passo 2

Agora vamos aplicar a Regra da Cadeia para resolver a primeira derivada acima:

d d x 2 x - 5 - 1

Fazemos a derivada da potência de fora:

d d t t - 1 = - t - 2

Substituímos t pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada dela:

- 2 x - 5 - 2 d d x ( 2 x - 5 )

E isso será:

- 2 2 x - 5 - 2

Passo 3

Beleza, agora vamos resolver a segunda derivada da nossa conta do Passo 1:

d d x [ 4 x + 3 - 2 ]

Aplicamos a Regra da Cadeia e resolvemos a derivada da potência primeiro:

d d t t - 2 = - 2 t - 3

Substituímos t pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada da função de dentro:

- 2 4 x + 3 - 3 d d x 4 x + 3

Resolvendo a derivada na conta de cima:

- 8 4 x + 3 - 3

Passo 4

Agora substituímos os dois resultados na regra do produto que aplicamos no início:

d d x 2 x - 5 - 1 4 x + 3 - 2 + 2 x - 5 - 1 d d x [ 4 x + 3 - 2 ]

- 2 2 x - 5 - 2   .   4 x + 3 - 2 + 2 x - 5 - 1 . - 8 4 x + 3 - 3

Reescrevendo:

- 2 ( 12 x - 17 ) ( 2 x - 5 ) 2 4 x + 3 3

Resposta

f ' x = - 2 ( 12 x - 17 ) ( 2 x - 5 ) 2 4 x + 3 3

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