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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 58

Determine a derivada da função y = z * c o s ^(- 1) z - sqrt(1 - z ^2)

Passo 1

Primeiro aplicamos a regra da soma:

(d y)/(d z) = (d)/(d z) (z * c o s ^(- 1) z - sqrt(1 - z ^2)) = (d)/(d z) (z * c o s ^(- 1) z) + (d)/(d z) (- sqrt(1 - z ^2))

Passo 2

1-Depois aplicamos a regra da multiplicação na primeira derivada:

(d y)/(d z) = (d)/(d z) (z * c o s ^(- 1) z) + (d)/(d z) (- sqrt(1 - z ^2)) = (d)/(d z) (z) * c o s ^(- 1) z + z * (d)/(d z) (c o s ^(- 1) z) + (d)/(d z) (- sqrt(1 - z ^2))

Passo 3

A derivada de z será:

(d)/(d z) (z) = 1

Passo 4

Para a derivada a função inversa do cosseno é necessário usar a relação:

(d)/(d t) c o s ^(- 1) x = - (1)/(sqrt(1 - x ^2)) (d x)/(d t) → (d)/(d z) (c o s ^(- 1) z) = - (1)/(sqrt(1 - z ^2)) * (d)/(d z) ( z ) = - (1)/(sqrt(1 - z ^2))

Passo 5

Para a derivada da raiz, precisamos aplicar regra da cadeia. Derivamos primeiro a raiz e depois o que está dentro dela:

(d)/(d z) (- sqrt(1 - z ^2)) = - (d)/(d z) (sqrt(1 - z ^2)) = - (1)/(2 sqrt(1 - z ^2)) * (d)/(d z) (1 - z ^2) = - (1)/(2 sqrt(1 - z ^2)) * (- 2 z) = (z)/(sqrt(1 - z ^2))

Resposta

Substituindo tudo teremos:

(d y)/(d z) = c o s ^(- 1) z + z * (- (1)/(sqrt(1 - z ^2))) + (z)/(sqrt(1 - z ^2)) → (d y)/(d z) = c o s ^(- 1) z

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