Nos exercícios de 46 a 49, ache as fórmulas para f'(x) e f''(x) e estabeleça os domínios de f' e f'' .

48. f(x) = |x|^3

Passo 1

Para realizar essa derivada precisamos saber a derivada de módulo de x.

Para calcularmos vamos usar um seguinte truque:

x = x 2

Sabendo isso, basta derivar x 2 que é bem mais intuitivo que a função módulo.

x 2 ' = 1 2 x 2 ⋅ 2 x = x x 2 = x x

Sabendo isso podemos prosseguir com a derivação.

Passo 2

Derivando uma vez pra achar f ' ( x ) :

f x = x 3

f ' x = 3 x 2 ⋅ ( x ) '

                      = 3 x 2 ⋅ x x

                      = 3 x | x |

Passo 3

Derivando mais uma vez para achar f ' ' ( x ) :

f ' x = 3 x x

f ' ' x = 3 x | x |

= 3 x ' ⋅ x + 3 x ( x ) '

                          = 3 x + 3 x ⋅ x x

                          = 3 x + 3 x 2 x

                          = 3 x 2 + 3 x 2 x = 6 x 2 x

Já que x 2 = x 2 .

Resposta

Assim ficamos com as seguintes fórmulas:

f ' x = 3 x x para todo x

E

f ' ' x = 6 x 2 x   s e   x ≠ 0 0   s e   x = 0  

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