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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 46

Nos exercícios de 46 a 49, ache as fórmulas para f ' ( x ) e f ' ' ( x ) e estabeleça os domínios de f ' e f ' ' .

46 .   f x = x 2 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Passo 1

Usaremos a regra do quociente para derivar a função.

Regra do quociente:

f x g x ' =   f x ' ⋅ g ( x ) - g x ' ⋅ f ( x ) g ( x ) 2

Passo 2

Vamos derivar f ' x = x 2 x para x ≠ 0 já que para x = 0 a derivada de 0 é 0.

f ' x = x 2 ' ⋅ x - x ' ⋅ x 2 x 2

Passo 3

Para continuarmos o processo de derivação precisamos calcular a derivada de módulo de x. Para calcularmos vamos usar um seguinte truque:

x = x 2

Sabendo isso, basta derivar x 2 que é bem mais intuitivo que a função módulo.

x 2 ' = 1 2 x 2 ⋅ 2 x = x x 2 = x x

Sabendo isso podemos prosseguir com a derivação.

Passo 4

Vamos realizar a primeira derivada para achar f ' ( x ) :

f x = x 2 x

f ' x = x 2 ' ⋅ x - x ' ⋅ x 2 x 2

                        = 2 x ⋅ x - x x ⋅ x 2 x 2

                      = 2 x x - x 3 x x 2

                      = 2 x x 2 - x 3 x 2 ⋅ x

                    = 2 x ⋅ x 2 - x 3 x 2 x = x 3 x 3

Já que x 2 = x 2 .

Passo 5

Vamos realizar a segunda derivada para achar f ' ' ( x ) :

f ' x = x 3 x 3

f ' ' x = x 3 ' ⋅ x 3 - x 3 ' ⋅ x 3 x 3 2

                        = 3 x 2 x 3 - 3 x 2 ⋅ x x ⋅ x 3 x 6

                        = 3 x 2 x 3 - 3 x 4 x x 6

Fazendo no segundo termo x 2 = x 2 , temos:

                        = 3 x 2 x 3 - 3 x 2 x 2 x x 6

                        = 3 x 2 x 3 - 3 x 2 x 3 x 6

                        = 3 x 2 x 3 - 3 x 2 x 3 = 0

Resposta

Assim ficamos com as seguintes fórmulas:

f ' x = x 3 x 3   p a r a   x ≠ 0

f ' ' x = 0 ,   p a r a   x ≠ 0

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Use os resultados do exercício 47 para derivar as funções dos exercícios de 48 a 51.50. g x = ( 3 x 3 + x - 3 ) ( x + 3 ) ( x 2 - 5 )