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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 49

Nos exercícios de 46 a 49, ache as fórmulas para f ' ( x ) e f ' ' ( x ) e estabeleça os domínios de f ' e f ' ' .

49 . .   f x = x 5 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Passo 1

Usaremos a regra do quociente para derivar a função.

Regra do quociente:

f x g x ' =   f x ' ⋅ g ( x ) - g x ' ⋅ f ( x ) g ( x ) 2

Passo 2

Vamos derivar f ' x = x 5 x para x ≠ 0 já que para x = 0 a derivada de 0 é 0.

f ' x = x 5 ' ⋅ x - x ' ⋅ x 5 x 2

Passo 3

Para continuarmos o processo de derivação precisamos calcular a derivada de módulo de x. Para calcularmos vamos usar um seguinte truque:

x = x 2

Sabendo isso, basta derivar x 2 que é bem mais intuitivo que a função módulo.

x 2 ' = 1 2 x 2 ⋅ 2 x = x x 2 = x x

Sabendo isso podemos prosseguir com a derivação.

Passo 4

Vamos realizar a primeira derivada para achar f ' ( x ) :

f x = x 5 x

f ' x = x 5 ' ⋅ x - x ' ⋅ x 5 x 2

                        = 5 x 4 ⋅ x - x x ⋅ x 5 x 2

                      = 5 x 4 x - x 6 x x 2

                      = 5 x 4 x 2 - x 6 x 2 ⋅ x

                    = 5 x 4 ⋅ x 2 - x 6 x 2 x = 4 x 6 x 3

Já que x 2 = x 2 .

Passo 5

Vamos realizar a segunda derivada para achar f ' ' ( x ) :

f ' x = 4 x 6 x 3

f ' ' x = 4 x 6 ' ⋅ x 3 - x 3 ' ⋅ x 6 x 3 2

                        = 24 x 5 x 3 - 3 x 2 ⋅ x x ⋅ x 6 x 6

                        = 24 x 5 x 2 x 5 - 3 x 7 | x | x 6

                        = 24 x 5 x 2 x 5 - 3 x 7 x 5

                        = 24 x 7 - 3 x 7 x 5 = 21 x 7 x 5

Como x 2 = x 2 , então x 5 = x 4 | x | . Então:

                        = 21 x 3 x

Resposta

Assim ficamos com as seguintes fórmulas:

f ' x = 4 x 6 x 3   p a r a   x ≠ 0

f ' ' x = 21 x 3 x   p a r a   x ≠ 0

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47. Se f,g e h são funções e ϕ = f x ⋅ g x ⋅ h ( x ) ,prove que se f ' x , g ' x e h ' ( x ) existirem, ϕ ' ( x ) = f ( x ) ˙ g x h ' x + f x g ' x h x + f ' x ⋅ g x ⋅ h ( x )
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