53. Se f', g', f'' e g'' existem, e se h = f ° g , expresse h''(x) em termos das derivadas de f e g .

Passo 1

Podemos ver a composição de duas formas:

  1. Como o enunciado nos mostra, f   ° g ;
  2. f g x .

Nessa segunda fica muito mais fácil de ver que para começar a derivar iremos usar a regra da cadeia.

Passo 2

1ª Derivada – Vamos derivar normalmente e chegaremos ao resultado fácil.

h x =   f g x       ⇒ h ' x = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Passo 3

2ª Derivada – Aqui iremos usar a regra do produto, mas é tranquilinho também.

h ' x = f ' g x ⋅ g ' x   ⇒ h ' ' x = f ' g x ' ⋅ g ' x +   f ' g x ⋅ g ' x

                                                                                              = f ' ' g x ⋅ g ' ( x ) ⋅ g ' x +   f ' g x ⋅ g ' ' ( x )

                                                                            = f ' ' g x ⋅ [ g ' ( x ) ] ² +   f ' g x ⋅ g ' ' ( x )

Resposta

h ' ' x = = f ' ' g x ⋅ [ g ' ( x ) ] ² +   f ' g x ⋅ g ' ' ( x )

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