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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 25

Nos exercícios de 13 a 32, ache o limite

underset(t -> - 4^-)(lim) ((2)/(t^2 + 3 t - 4) - (3)/(t + 4))

Passo 1

Fala galeres, beleza?

Bom, aqui temos que encontrar o limite dessa expressão com o nosso t tendendo a - 4 lateralmente, apenas pelos valores menores que o - 4 , ou seja, tá tendendo a - 4 pela esquerda.

Vamos começar com o de sempre, jogando o valor do t e ver no que vai dar:

underset(t -> - 4^-)(lim) ((2)/(t^2 + 3 t - 4) - (3)/(t + 4)) = (2)/(4^2 + 3 * ( - 4 ) - 4) - (3)/(t + 4) = (2)/(0) - (3)/(0) = oo - oo

Deu xabu.... infinito menos infinito, vamos ter que dar uma mexida nessa expressão.

Se a gente olhar direito, dá pra ver que o denominador da primeira fração é um produto notável! E algo me diz que esse produto notável aí, vai ajudar a gente!

Passo 2

Olhando para a nossa expressão, nós temos:

(2)/(t^2 + 3 t - 4) - (3)/(t + 4)

Show de bola.

Ali na fração da esquerda, no denominador nós temos a seguinte expressão

t^2 + 3 t - 4

Isso aí tá com cara de um produto notável que conhecemos... me lembra isso aqui:

(t + a) (t + b) = t^2 + t (a + b) + a b

Comparando com a nossa expressão, temos que

a + b = 3

a b = - 4

E resolvendo esse sisteminha, encontramos que

a = 4 :. b = - 1

Ou seja, podemos escrever nosso denominador da seguinte forma

t^2 + 3 t - 4 = (t + 4) (t - 1)

E agora é só substituir na nossa expressão...

(2)/(t^2 + 3 t - 4) - (3)/(t + 4) = (2)/(( t + 4 ) ( t - 1 )) - (3)/(t + 4)

Tá ficando melhor. Agora eu tenho até dois termos iguais, um em cada denominador das frações. Já que tá moleza assim, vamos fazer esse MMC e essa subtração!

(2)/(( t + 4 ) ( t - 1 )) - (3)/(t + 4) = (2 * 1 - 3 * (t - 1))/(( t + 4 ) ( t - 1 ))

Ajeitando as coisas...

(5 - 3 t)/((t + 4) (t - 1))

Agora ficamos com uma fração só... me parece que conseguimos sair da indeterminação, vamos ver o que acontece se substituirmos o nosso limite.

underset(t -> - 4^-)(lim) ((2)/(t^2 + 3 t - 4) - (3)/(t + 4)) = underset(t -> - 4^-)(lim) (5 - 3 t)/((t + 4) (t - 1)) = (5 - 3 * ( - 4 ))/(( - 4 + 4 ) ( - 4 - 1 )) = (5 + 12)/(0 * - 5) = (17)/(0)

Opaaaa! Caímos em um valor com 0 no denominador, sabemos que isso vai dar em infinito, agora só precisamos saber se é o infinito positivo ou o negativo ( + oo ou - oo ).

Vambora para análise de sinais!

Passo 3

Nossa expressão é essa aqui:

(5 - 3 t)/((t + 4) (t - 1))

A gente pode começar pelo numerador. O que acontece com ele quando t tende a - 4 por valores menores que - 4 , ou seja, pela tende pela esquerda.

t = - 5 -> 5 - 3 * (- 5) = 5 + 15 = 20

t = - 4,1 -> 5 - 3 * (- 4,1) = 5 + 12,3 = 17,3

t = 4,01 -> 5 - 3 * (- 4,01) = 5 + 12,03 = 17,03

Beleza, dá para ver que esse negócio aí tende a 17 e vai dar um número positivo.

E quanto o nosso denominador? O que acontece com ele quando t tende a - 4 pelos valores menores que - 4 :

t = - 5 -> ((- 5) + 4) ((- 5) - 1) = - 1 * - 6 = 6

t = - 4,1 -> ((- 4,1) + 4) ((- 4,1) - 1) = - 0 , 1 * - 5,1 = 0,51

t = 4,01 -> ((- 4,01) + 4) ((- 4,01) - 1) = - 0,01 * - 5,01 = 0,0501

Esse cara aí tá tendendo a zero e dá pra ver que tendo a zero sempre com valores positivos.

Temos então que nosso numerador é positivo e nosso denominador também vai ser positivo.

É isso aí, a nossa análise de sinais acabou! Agora é só fechar!

Passo 4

Sabemos que:

underset(t -> - 4^-)(lim) ((2)/(t^2 + 3 t - 4) - (3)/(t + 4)) = underset(t -> - 4^-)(l i m) (5 - 3 t)/((t + 4) (t - 1)) = (17)/(0)

E nosso limite vai para infinito, pois teremos um zero no nosso denominador.

Com a análise, vimos que esse limite vai dar num número positivo, com isso podemos afirmar que nosso limite vai para + oo .

underset(t -> - 4^-)(lim) ((2)/(t^2 + 3 t - 4) - (3)/(t + 4)) = + oo

Resposta

underset(t -> - 4^-)(lim) ((2)/(t^2 + 3 t - 4) - (3)/(t + 4)) = + oo

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