Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 25
Nos exercícios de 13 a 32, ache o limite
Passo 1
Fala galeres, beleza?
Bom, aqui temos que encontrar o limite dessa expressão com o nosso tendendo a lateralmente, apenas pelos valores menores que o , ou seja, tá tendendo a pela esquerda.
Vamos começar com o de sempre, jogando o valor do e ver no que vai dar:
Deu xabu.... infinito menos infinito, vamos ter que dar uma mexida nessa expressão.
Se a gente olhar direito, dá pra ver que o denominador da primeira fração é um produto notável! E algo me diz que esse produto notável aí, vai ajudar a gente!
Passo 2
Olhando para a nossa expressão, nós temos:
Show de bola.
Ali na fração da esquerda, no denominador nós temos a seguinte expressão
Isso aí tá com cara de um produto notável que conhecemos... me lembra isso aqui:
Comparando com a nossa expressão, temos que
E resolvendo esse sisteminha, encontramos que
Ou seja, podemos escrever nosso denominador da seguinte forma
E agora é só substituir na nossa expressão...
Tá ficando melhor. Agora eu tenho até dois termos iguais, um em cada denominador das frações. Já que tá moleza assim, vamos fazer esse MMC e essa subtração!
Ajeitando as coisas...
Agora ficamos com uma fração só... me parece que conseguimos sair da indeterminação, vamos ver o que acontece se substituirmos o nosso limite.
Opaaaa! Caímos em um valor com 0 no denominador, sabemos que isso vai dar em infinito, agora só precisamos saber se é o infinito positivo ou o negativo ( ou ).
Vambora para análise de sinais!
Passo 3
Nossa expressão é essa aqui:
A gente pode começar pelo numerador. O que acontece com ele quando tende a por valores menores que , ou seja, pela tende pela esquerda.
Beleza, dá para ver que esse negócio aí tende a 17 e vai dar um número positivo.
E quanto o nosso denominador? O que acontece com ele quando tende a pelos valores menores que :
Esse cara aí tá tendendo a zero e dá pra ver que tendo a zero sempre com valores positivos.
Temos então que nosso numerador é positivo e nosso denominador também vai ser positivo.
É isso aí, a nossa análise de sinais acabou! Agora é só fechar!
Passo 4
Sabemos que:
E nosso limite vai para infinito, pois teremos um zero no nosso denominador.
Com a análise, vimos que esse limite vai dar num número positivo, com isso podemos afirmar que nosso limite vai para .