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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 7

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ cos ⁡ x 4 - cos 2 ⁡ x   d x

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ cos ⁡ x 4 - cos 2 ⁡ x   d x

Para usarmos alguma fórmula do teorema 9.8.4 precisamos mudar um pouco a integral. Como temos o cosseno no denominador e ele é a derivada do seno, pode ser conveniente usar o seno no denominador:

4 - cos 2 ⁡ x = 4 - 1 - s e n 2 x = 3 + s e n 2 x

Assim,

I = ∫ cos ⁡ x 3 + s e n 2 x   d x

Fazendo a substituição u = s e n   x , temos que d u = cos ⁡ x   d x :

I = ∫ 1 3 + u 2   d u

Passo 2

Note que essa é exatamente a integral

∫ 1 a 2 + u 2   d u = s e n h - 1 u a + C = ln ⁡ u + a 2 + u 2 + C

Usando a = 3 :

I = s e n h - 1 u 3 + C = ln ⁡ u + 3 + u 2 + C

Lembrando que u = s e n   x , temos que

I = s e n h - 1 s e n   x 3 + C = ln ⁡ s e n   x + 4 - cos 2 ⁡ x + C

Resposta

s e n h - 1 s e n   x 3 + C = ln ⁡ s e n   x + 4 - cos 2 ⁡ x + C

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