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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 42

Nos exercícios de 31 a 42, ache f^' (a) para o valor de f ' ( a )

42 . f (x) = (1)/(c o t g x - 1) a = (3 pi)/(4)

Passo 1

Usaremos a regra do quociente para derivar a função.

Regra do quociente:

((f (x))/(g (x)))^' = ((f (x)) ' * g ( x ) - (g (x)) ' * (f ( x )))/((g ( x ))^2)

Passo 2

Derivando:

f ' (x) = ((1) ' * ( c o t g x - 1 ) - (c o t g x - 1) ' * (1))/((c o t g x - 1)^2)

= (0 * ( c o t g x - 1 ) - (- c o s e c ² x) * (1))/((c o t g x - 1)^2)

= (c o s e c ² x)/((c o t g x - 1)^2)

Passo 3

Vamos agora substituir o x pelo valor de a:

c o s e c x = c o s e c ((3 pi)/(4)) = (1)/(s e n ((3 pi)/(4))) = (1)/((1)/(sqrt(2))) = sqrt(2)

c o t g x = c o t g ((3 pi)/(4)) = (1)/(t g ((3 pi)/(4))) = (1)/(- 1) = - 1

Passo 4

Por fim, substituímos os valores na nossa derivada e acharemos o valor final da derivada.

f^' (x) = (c o s e c ² x)/((c o t g x - 1)^2)

= ((sqrt(2))^2)/((- 1 - 1)^2)

= (2)/(4) = (1)/(2)

Resposta

f^' (x) = (1)/(2)

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