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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 73

Nos Exercícios 73 e 74, aproxime as integrais duplas de ƒ(x, y) sobre a região R particionada pelas retas verticais dadas x = a e retas

horizontais y = c. Em cada sub-retângulo, utilize (xk, yk) conforme

indicado para sua aproximação

∬ R   f ( x , y ) d A ≈ ∑ k = 1 n   f x k , y k Δ A k

f ( x , y ) = x + y sobre a região R delimitada acima pelo semicírculo y = 1 - x 2 e abaixo pelo eixo x , utilizando a partição x = - 1 , - 1 / 2,0 , 1 / 4,1 / 2,1 e y = 0,1 / 2,1 com x k , y k no canto inferior esquerdo no k -ésimo sub-retângulo (contanto que o sub-retângulo esteja dentro de R )

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício iremos estimar uma integral dupla utilizando um somatório de áreas de subretângulos.

Passo 2

Pela definição de integral dupla, temos que: ∬ R   f ( x , y ) d A ≈ ∑ k = 1 n   f x k , y k Δ A k

Passo 3

Neste exercício iremos determinar a integral da função f ( x , y ) = x + y na região delimitada pelo círculo y = 1 - x 2 e pelo eixo × utilizando porções para x de:

x = - 1 , - 1 / 2,0 , 1 / 4,1 / 2,1

E porções me para y de:

y = 0,1 / 2,1

de tal forma que x k , y k é um retângulo inferior à esquerda da região R .

Passo 4

Sendo assim, temos que:

f - 1 2 , 0 = - 1 2 + 0 = - 1 2   Δ A = 1 4 f ( 0,0 ) = 0 + 0 = 0   Δ A = 1 8 f 1 4 , 0 = 1 4 + 0 = 1 4   Δ A = 1 8

Sendo assim:

∬ R   f ( x , y ) d A ≈ 1 4 - 1 2 + 1 8 1 4 = - 3 32

Resposta

Portanto o valor aproximado da integral é - 3 32 .

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