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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 71

Integrais duplas impróprias podem geralmente ser calculadas de

maneira semelhante a integrais impróprias de uma variável. A primeira iteração das integrais impróprias a seguir é feita como se elas

fossem integrais próprias. Avaliamos, então, uma integral imprópria

de uma variável tomando limites apropriados, como na Seção 8.7.

Calcule as integrais impróprias nos Exercícios 69-72 como integrais

iteradas.

∫ - ∞ ∞   ∫ - ∞ ∞   1 x 2 + 1 y 2 + 1 d x d y

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, iremos calcular uma integral dupla imprópria de maneira similar a que se resolve uma integral própria definida.

Passo 2

Inicialmente, vamos considerar a integral: ∫ - ∞ ∞   ∫ - ∞ ∞   1 x 2 + 1 y 2 + 1 d x d y

Note que os limites de integração são impróprios, sendo assim, iremos inserir uma variável b que tende ao infinito para integrar em x .

Passo 3

Dessa forma, utilizando da técnica de substituição trigonométrica e das propriedades de simetria para integrar em × podemos escrever:

2 ∫ 0 ∞     2 y 2 + 1 l i m b → ∞   a r c t g ⁡ ( x ) b b d y 2 ∫ 0 ∞     2 y 2 + 1 l i m b → ∞   [ a r c t g ⁡ ( b ) - a r c t g ⁡ ( 0 ) ] d y

Perceba que, na medida em que b tende a 1,0 ângulo tende a π / 2 , sendo assim:

l i m b → ∞   2 π ∫ 0 b   1 y 2 + 1 d y

Passo 4

E, agora, vamos integrar em y :

  l i m b → ∞   2 π [ a r c t g ⁡ ( x ) ) b b 2 π l i m b → ∞   ( a r c t g ⁡ ( b ) - a r c t g ⁡ ( 0 ) ) 2 π π 2 π 2

Resposta

Portanto, o resultado da integral imprópria é: π 2 .

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