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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 76

Região não limitada Integre f ( x , y ) = 1 / x 2 - x ( y - 1 ) 2 / 3 sobre o retângulo infinito 2 ≤ x < ∞ , 0 ≤ y ≤ 2 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício iremos calcular a integral da função: f ( x , y ) = 1 x 2 - x ( y - 1 ) 2 / 3

sobre a região de integração aberta dada por 2 ≤ x < ∞ e 0 ≤ y ≤ 2 .

Passo 2

Sendo assim, integraremos:

∫ 2 ∞   ∫ 0 2   1 x 2 - x ( y - 1 ) 2 / 3 d y d x

Vamos começar integrando em y:

  ∫ 2 ∞     3 ( y - 1 ) 1 / 3 x 2 - x 0 2 d x   ∫ 2 ∞     3 x 2 + x x 2 - x 6 ∫ 2 ∞     1 x ( x - 1 ) d x

Passo 3

E agora para integrar em x , iremos inserir uma variável b que tende ao infinito e escrever: 6 l i m b → ∞   ∫ 2 b   1 x - 1 - 1 x d x 6 l i m b → ∞   [ l n ⁡ ( x - 1 ) - l n ⁡ ( x ) ] 2 b Substituindo os limites de integração, observe que: 6 l i m b → ∞   [ ( l n ⁡ ( b - 1 ) - l n ⁡ ( b ) ) - ( l n ⁡ ( 2 ) - l n ⁡ ( 1 ) ) ]

Passo 4

Então: 6 l i m b → ∞   l n ⁡ b - 1 b + l n ⁡ ( 2 )

Resposta

Perceba que quando b tende ao infinito, seu inverso tende à zero, sendo assim o resultado do limite é: 6 l n ⁡ ( 2 )

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