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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.2 - Ex. 83

Região não limitada Prove que

[[int_(- oo)^(oo),,int_(- oo)^(oo),,e^(- x^2 - y^2),d,x,d,y,,=,underset(b -> oo)(l i m),,int_(- b)^b,,int_(- b)^b,,e^(- x^2 - y^2),d,x,d,y],[,,=,4,(int_0^(oo) e^(- x^2) d x)^2]]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos provar que:

(int_(- oo)^(oo) int_(- oo)^(oo) e^(- x^2 - y^2) d y d x = underset(b -> oo)(l i m) int_(- b - b)^b int_-^b e^(- (x^2 + y^2))) d x d y = 4 (int_0^(oo) e^(- x^2) d x)^2 = 4

Passo 2

Vamos a demonstração:

[[,,int_(- oo)^(oo),,int_(- oo)^(oo),,e^(- x^2 - y^2),d,y,d,x,=,int_(- oo)^(oo),,int_(- oo)^(oo),,e^(- x^2),e^(- y^2),d,y,d,x,=,int_(- b)^b,,e^(- y^2),(int_(- b)^b e^(- x^2) d x),d,y],[,,=,(int_(- b)^b e^(- x^2) d x),(int_(- b)^b e^(- y^2) d y),=,(int_(- b)^b e^(- x^2) d x)^2,=,([[b],[2,int,e^(- x^2),d,x],[0]])^2,=,([[b],[4,int,e^(- x^2),d,x],[0]])^2]]

Fazendo b tender a infinito chegamos ao resultado esperado.

Resposta

Resposta nos passos.

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