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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.7 - Ex. 1

Use o método de Newton para estimar as soluções da equação x 2 + x - 1 = 0 . Comece com   x 0   =   -   1 para a solução à esquerda e com x 0   =   1 para a solução à direita. Depois, determine x 2 em cada caso.

Passo 1

O método de Newton nos diz que para estimarmos uma raiz x podemos fazer a seguinte aproximação

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Em que x n diz respeito à nossa aproximação anterior, no nosso caso vamos usar os valores de x 0 fornecidos no problema para encontrarmos x 2 .

Passo 2

Primeiramente calculemos a derivada da função

f x = x 2 + x - 1 → f ' x = 2 x + 1

Assim, nossa fórmula geral para o método de Newton fica sendo

x n + 1 = x n - x n 2 + x n - 1 2 x n + 1

Sendo

x 0 = 1 →   x 0 + 1 = x 0 - x 0 2 + x 0 - 1 2 x 0 + 1

x 1 = 1 - 1 + 1 - 1 2 ⋅ 1 + 1

x 1 = 1 - 1 3

x 1 = 2 3

Dessa forma, utilizando novamente a fórmula de Newton, teremos

x 1 + 1 = x 1 - x 1 2 + x 1 - 1 2 x 1 + 1

x 2 = 2 3 - 2 3 2 + 2 3 - 1 2 ⋅ 2 3 + 1

x 2 = 2 3 - 4 9 + 2 3 - 1 4 3 + 1

x 2 = 2 3 - 4 9 + 6 9 - 9 9 7 3

x 2 = 2 3 - 1 9 7 3

x 2 = 2 3 - 1 9 ⋅ 3 7

x 2 = 2 3 - 1 21

x 2 = 13 21 ≈ 0.61905

Passo 3

Agora utilizaremos x 0 = - 1 .Assim,

x 0 = 1 →   x 0 + 1 = x 0 - x 0 2 + x 0 - 1 2 x 0 + 1

x 1 = - 1 - 1 - 1 - 1 2 ⋅ ( - 1 ) + 1

x 1 = - 1 - - 1 - 2 + 1

x 1 = - 1 - - 1 - 1

x 1 = - 2

Dessa forma, utilizando novamente a fórmula de Newton, teremos

x 1 + 1 = x 1 - x 1 2 + x 1 - 1 2 x 1 + 1

x 2 = - 2 - ( - 2 ) 2 - 2 - 1 2 ⋅ - 2 + 1

x 2 = - 2 - 4 - 2 - 1 - 4 + 1

x 2 = - 2 - 1 - 3

x 2 = - 2 + 1 3 =   - 5 3 ≈   - 1.6667

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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