Aplique o método de Newton a f(x) = x^(1/3) com x0 = 1 e calcule x1, x2, x3, e x4 . Determine uma fórmula para | x n | . O que acontece com |x n| quando n → infinito ? Desenhe uma figura que mostre o que ocorre.

Passo 1

Para a função dada precisamos calcular o valor de x 1   ,   x 2 ,   x 3   e   x 4 e achar uma fórmula geral para x n utilizando o método de Newton que nos diz que

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )           ( i )

e dizer o que acontece quando o valor de n tende a infinito.

Passo 2

Primeiramente, vamos derivar nossa função f ( x ) para depois aplicarmos o método de Newton

f x = x 1 3   → f ' x = 1 3 ⋅ x - 2 3

Dessa forma, aplicando a fórmula do método de Newton para o nosso caso, obteremos

x n + 1 = x n - x n 1 3 1 3 ⋅ x n - 2 3          

x n + 1 = x n - x n 1 3 - - 2 3 1 3      

x n + 1 = x n - 3 x n 1 3 + 2 3      

x n + 1 = x n - 3 x n 3 3

x n + 1 = x n - 3 x n

x n + 1 = - 2 x n

Passo 3

Para calcularmos x 1 utilizaremos o valor de x 0   dado

x 0 + 1 = - 2 x 0

x 1 = - 2 ⋅ 1 =   - 2

Seguindo o mesmo raciocínio, podemos fazer

x 1 + 1 = - 2 x 1

x 2 = - 2 x 1 = - 2 ⋅ - 2 = 4

x 2 + 1 = - 2 x 2

x 3 = - 2 ⋅ x 2

x 3 = - 2 ⋅ 4 =   - 8

x 4 = - 2 ⋅ x 3

x 4 = - 2 ⋅ - 8 = 16

Passo 4

Dessa forma, podemos generalizar para qualquer termo e obteremos

x n + 1 = - 2 x n

x n + 1 = 2 ⋅ x n

∴ x n + 1 2 = x n

Ou ainda podemos reindexar e obteremos

x n = - 2 x n - 1

∴ x n = 2 ⋅ x n - 1

Observamos que quando n → ∞ isso implica x n → ∞

Passo 5

O que ocorre quando n → ∞ pode ser ilustrado na figura abaixo

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados