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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.10 - Ex. 11

Nos exercícios de11 até 14, use o método de Newton para encontrar o radical dado com cinco casas decimais corretas.

3 , resolvendo a equação x 2 - 3 = 0

Passo 1

Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Com n um número natural, a raiz x n tem precisão de k casas decimais se x n + 1 = x n até a k - é s i m a casa decimal. A função f ( x ) , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.

Passo 2

Devemos calcular a função f ' ( x ) , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:

f ' x = 2 x

Passo 3

Para escolher o valor de x 1 , perceba que f 2 = 1 > 0 e f 1 = - 2 < 0 . Temos uma raiz no intervalo 1 < x < 2 . Portanto, vamos usar o valor x 1 = 2 para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:

- x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

x 2 = 2 - 1 4

x 2 = 1 , 75

- x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2  

x 3 = 1 , 75 - 0,0625 3,5  

x 3 = 1,7 3214

- x 4 = x 3 - f x 3 f ' x 3  

x 4 = 1,7 3214 - 0 , 000319 3,464  

x 4 = 1,7 3205

- x 5 = x 4 - f x 4 f ' x 4  

x 5 = 1,7 3205 - 0,00 0003 3,464  

x 5 = 1,7 3205

Resposta

Ou seja, o valor de 3 , com aproximação de cinco casas decimais, é:

x = 1,7 3205

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