Para que valor(es) de x teremos ln(1-x^2) = x-1 ?

Passo 1

Para obtermos ln ⁡ 1 - x 2 = x - 1   separaremos em duas funções e vamos plotar o gráfico para ver o ponto de intersecção entre eles. Dessa forma, tomemos y 1 = ln ⁡ 1 - x 2   e   y 2 = x - 1   , plotando o gráfico vamos obter

Observamos 2 valores de x para os quais as funções se encontram, utilizando o método de Newton para aproximação de raízes vamos precisar de 2 valores iniciais para aproximação de raízes, sendo assim, vamos pegar como valores iniciais - 0 . 9   e   0.5   que estão próximos dos pontos de encontro como é possível observar pelo gráfico. Lembrando que o método de Newton nos diz que

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Passo 2

Primeiramente vamos derivar a função, para poder substituir na fórmula do método de Newton. Assim,

f x =   ln ⁡ 1 - x 2 - x + 1 → f ' x =   - 2 x 1 - x 2 - 1

Assim,

x 0 + 1 = x 0 - f ( x 0 ) f ' ( x 0 )

x 1 = x 0 - ln ⁡ 1 - x 0 2 - x 0 + 1 - 2 x 0 1 - x 0 2 - 1

Na ordem dos pontos iniciais vamos pegar primeiro x 0 =   - 0 . 9 e obteremos

x 1 = x 0 - ln ⁡ 1 - x 0 2 - x 0 + 1 - 2 x 0 1 - x 0 2 - 1

x 1 = - 0.9 + ln ⁡ 1 - 0.9 2 + 0.9 + 1 2 ⋅ - 0.9 1 - 0.9 2 + 1

x 1 ≈ - 0.92824

Agora, para x 0 =   0.5 5

x 1 = x 0 - ln ⁡ 1 - x 0 2 - x 0 + 1 - 2 x 0 1 - x 0 2 - 1

x 1 = 0.55 + ln ⁡ 1 - ( 0.55 ) 2 - ( 0.55 ) + 1 2 ⋅ 0.55 1 - ( 0.55 ) 2 + 1

x 1 ≈ 0,584825

Resposta

x ≈ - 0.92824   o u   x ≈ 0,584825

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