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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 19

Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.

19.

f (x) = (a^(3 x))/(b^(3 x^2 - 6 x))

Passo 1

Queremos encontrar a derivada da função f ( x ) dada. Para isso, precisamos saber que a derivada de uma g (x) = a^x é g^' (x) = a^x ln a . Também temos que considerar escrever a função f (x) = (a^(3 x))/(b^(3 x^2 - 6 x)) como sendo f (x) = (a^(g ( x )))/(b^(h ( x ))) em que usamos a regra da cadeia para fazer essa derivada . Tendo em mente a informação acima, para derivar a função f ( x ) podemos usar a regra da cadeia junto com a regra do cociente. Assim a derivada de f (x) é a seguinte:

f^' (x) = ((a^(3 x))^' xx (b^(3 x^2 - 6 x)) - (a^(3 x)) (b^(3 x^2 - 6 x))^')/((b^(3 x^2 - 6 x))^2)

f^' (x) = ((a^(3 x) ln a xx (3 x^(1 - 1))) xx (b^(3 x^2 - 6 x)) - (a^(3 x)) xx (b^(3 x^2 - 6 x) ln b xx (6 x^(2 - 1) - 6 x^(1 - 1))))/((b^(3 x^2 - 6 x))^2)

f^' (x) = (3 a^(3 x) b^(3 x^2 - 6 x) ln a - (6 x - 6) a^(3 x) b^(3 x^2 - 6 x) ln b)/((b^(3 x^2 - 6 x))^2)

Temos então que a derivada de f (x) é:

f^' (x) = (3 a^(3 x) b^(3 x^2 - 6 x) ln a - (6 x - 6) a^(3 x) b^(3 x^2 - 6 x) ln b)/((b^(3 x^2 - 6 x))^2)

Resposta

f^' (x) = (3 a^(3 x) b^(3 x^2 - 6 x) ln a - (6 x - 6) a^(3 x) b^(3 x^2 - 6 x) ln b)/((b^(3 x^2 - 6 x))^2)

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