Mostrar que a função y = x e^(- x) satisfaz a equação x y^' = (1 - x) y .

Passo 1

Para verificarmos isso, vamos fazer a derivação implícita da função. Vamos derivar em relação à variável x .

y^' = 1 . e^(- x) + x * ( - 1 ) * e^(- x)

y^' = e^(- x) - x * e^(- x)

y^' = e^(- x) * ( 1 - x )

Passo 2

Obtido o valor de y ' , substituímos ele na expressão da equação diferencial do enunciado, que queremos comprovar se será satisfeita ou não pela função. Teremos:

x * ( e^(- x) * (1 - x) ) = (1 - x) y

Simplificando o termo ( 1 - x ) em ambos os lados, vamos resultar em:

x * e^(- x) = y

Que é exatamente a nossa função original. Então, concluímos que a equação diferencial apresentada pelo enunciado é satisfaz (ou seja, é solução) a função dada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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