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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 29

29. Se f (x) = (x)/(ln x) , encontre f^' (e) .

Passo 1

O exercício pede a derivada em um ponto, então precisamos achar a expressão da derivada e depois substituir o x por e . Para isso vamos precisar usar a regra do quociente:

f^' (x) = ((d)/(d x) (x) * ln x - (d)/(d x) (ln x) * x)/((ln x)^2)

A derivada de x é 1 e a derivada de ln x , como foi visto nesse capitulo é igual a:

(d)/(d x) (ln x) = (1)/(x)

Então nossa derivada fica:

f^' (x) = ((1) * ln x - ((1)/(x)) * x)/((ln x)^2)

f^' (x) = (ln x - 1)/((ln x)^2)

Passo 2

Agora precisamos aplicar essa derivada no ponto:

f^' (e) = (ln e - 1)/((ln e)^2)

Como

ln e = 1

então:

f^' (e) = (1 - 1)/((1)^2)

f^' (e) = 0

Resposta

f^' (e) = 0

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