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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 15

2 – 20. Diferencie a função.15. f u = ln ⁡ u 1 + ln ⁡ 2 u

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema foi dada a função

f u = ln ⁡ u 1 + ln ⁡ 2 u

E nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem ideia de como fazemos isso?

A primeira coisa que podemos perceber ao analisar a função f é que ela é composta uma uma fração de funções...

Dessa forma, para calcular sua derivada podemos aplicar a regra do quociente.

f x = g x h x ,     f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Porem, tambem podemos perceber que o termo ln ⁡ 2 u é uma função composta logo, quando tivermos que calcular sua derivada temos que aplicar a regra da cadeia...

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Bora começar!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra do quociente...

f ' u = d ln ⁡ u d u · 1 + ln ⁡ 2 u - ln ⁡ u · d 1 + ln ⁡ 2 u d u 1 + ln ⁡ 2 u 2

f ' u = d ln ⁡ u d u · 1 + ln ⁡ 2 u - ln ⁡ u · d 1 d u + d ln ⁡ 2 u d u 1 + ln ⁡ 2 u 2

Agora na derivada de ln ⁡ 2 u temos que aplicar a regra da cadeia

f ' u = d ln ⁡ u d u · 1 + ln ⁡ 2 u - ln ⁡ u · d 1 d u + d 2 u d u · d ln ⁡ v d v 1 + ln ⁡ 2 u 2

Assim, pelo teorema fundamental do calculo, temos que

d ln ⁡ u d u = 1 u

d ln ⁡ v d v = 1 v

E pela regra da potência...

d 1 d u = 0

d 2 u d u = 2

Substituindo em f '

f ' u = 1 u · 1 + ln ⁡ 2 u - ln ⁡ u · 0 + 2 · 1 v 1 + ln ⁡ 2 u 2

f ' u = 1 + ln ⁡ 2 u u - 2 ln ⁡ u v 1 + ln ⁡ 2 u 2

Não podemos deixar o resultado em função de v , então voltamos v para 2 u

f ' u = 1 + ln ⁡ 2 u u - 2 ln ⁡ u 2 u 1 + ln ⁡ 2 u 2

Simplificando o numerador...

f ' u = 1 + ln ⁡ 2 u u - ln ⁡ u u 1 + ln ⁡ 2 u 2

f ' u = 1 + ln ⁡ 2 u - ln ⁡ u u 1 + ln ⁡ 2 u 2

Podemos simplificar um pouco mais se lembrarmos da propriedade logarítmica que diz ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b , ou seja

f ' u = 1 + ln ⁡ 2 + ln ⁡ u - ln ⁡ u u 1 + ln ⁡ 2 u 2

f ' u = 1 + ln ⁡ 2 u 1 + ln ⁡ 2 u 2

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

f ' u = 1 + ln ⁡ 2 u 1 + ln ⁡ 2 u 2

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