Obtenha a regra do produto para (u v)' derivando a fórmula ln(u * v) = ln(u) + ln(v) .

Passo 1

Este exercício pretende comprovar a regra da derivada de um produto de funções, a partir de propriedades de logaritmos. Derivando ambos os lados da sentença do enunciado, vamos ter:

( ln ⁡ u v ) ' = ln ⁡ u ' + ( ln ⁡ v ) '

1 u v ∙ u v ' = 1 u ∙ u ' + 1 v ∙ v '

u v ' u v = u ' u + v ' v

Passo 2

Desenvolvemos a soma dessas frações pelo MMC dos denominadores, e teremos:

u v ' u v = u ' ∙ v + u ∙ v ' u v

Sendo os denominadores iguais, podemos cancelá-los. Assim, chegamos à seguinte sentença:

u v ' = u ' ∙ v + u ∙ v '

Que é exatamente o enunciado da regra da derivada de um produto, que usamos em tantos outros exercícios, sendo comprovado pela propriedade de logaritmos – o logaritmo de um produto equivale à soma dos logaritmos dos fatores, individualmente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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