Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.

20.

f(t) = (2t + 1)^(t^2 - 1)

Passo 1

Queremos encontrar a derivada da função f ( t ) dada.

Pra isso, emm primeiro lugar, vamos expressar f ( t ) em termos do número de Euler e :

f t = 2 t + 1 t 2 - 1 = e ln ⁡ 2 t + 1 t 2 - 1

Lembre que podemos fazer porque e t e ln ⁡ t são funções inversas.

Além disso, podemos usar a propriedade de uma potência para o logaritmo que diz que log a ⁡ b c = c log a ⁡ b . Dessa maneira, vamos ficar com:

f t = e t 2 - 1 ln ⁡ ( 2 t + 1 )

Vamos então substituir u t = t 2 - 1 ln ⁡ ( 2 t + 1 ) pra tornar nossa resolução mais fácil

Passo 2

Agora, para prosseguir com a derivação da função f ( t ) podemos usar a regra da cadeia. Assim a derivada de f t é a seguinte:

f ' t = d d t e u × d u d t = d d t e u × d d t t 2 - 1 ln ⁡ ( 2 t + 1 )

Derivando a função “de fora”, e u , temos que sua derivada é exatamente d d t e u = e u = e t 2 - 1 ln ⁡ ( 2 t + 1 ) = 2 t + 1 t 2 - 1 .

Já pra derivar a função “de dentro”, t 2 - 1 ln ⁡ ( 2 t + 1 ) , vamos usar tanto a Regra do Produto

Quanto a Regra da Cadeia:

d d t t 2 - 1 ln ⁡ ( 2 t + 1 ) = d d t t 2 - 1 × ln ⁡ ( 2 t + 1 ) + d d t ln ⁡ ( 2 t + 1 ) × t 2 - 1  

→ d d t t 2 - 1 ln ⁡ ( 2 t + 1 ) = 2 t × ln ⁡ ( 2 t + 1 ) + 2 2 t + 1 × t 2 - 1  

Temos então que a derivada de f t é:

f ' t = 2 t + 1 t 2 - 1 2 t ln ⁡ ( 2 t + 1 ) + 2 t ² - 2 2 t + 1  

Resposta

f ' t = 2 t + 1 t 2 - 1 2 t ln ⁡ ( 2 t + 1 ) + 2 t ² - 2 2 t + 1  

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