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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 20

Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.

20.

f (t) = (2 t + 1)^(t^2 - 1)

Passo 1

Queremos encontrar a derivada da função f ( t ) dada.

Pra isso, emm primeiro lugar, vamos expressar f ( t ) em termos do número de Euler e :

f (t) = (2 t + 1)^(t^2 - 1) = e^(ln (2 t + 1)^(t^2 - 1))

Lembre que podemos fazer porque e^t e ln t são funções inversas.

Além disso, podemos usar a propriedade de uma potência para o logaritmo que diz que log_a b^c = c log_a b . Dessa maneira, vamos ficar com:

f (t) = e^((t^2 - 1) ln ( 2 t + 1 ))

Vamos então substituir u (t) = (t^2 - 1) ln ( 2 t + 1 ) pra tornar nossa resolução mais fácil

Passo 2

Agora, para prosseguir com a derivação da função f ( t ) podemos usar a regra da cadeia. Assim a derivada de f (t) é a seguinte:

f^' (t) = (d)/(d t) [e^u] xx (d u)/(d t) = (d)/(d t) [e^u] xx (d)/(d t) [(t^2 - 1) ln ( 2 t + 1 )]

Derivando a função “de fora”, e^u , temos que sua derivada é exatamente (d)/(d t) [e^u] = e^u = e^((t^2 - 1) ln ( 2 t + 1 )) = (2 t + 1)^(t^2 - 1) .

Já pra derivar a função “de dentro”, (t^2 - 1) ln ( 2 t + 1 ) , vamos usar tanto a Regra do Produto

Quanto a Regra da Cadeia:

(d)/(d t) [(t^2 - 1) ln ( 2 t + 1 )] = (d)/(d t) [t^2 - 1] xx ln ( 2 t + 1 ) + (d)/(d t) [ln ( 2 t + 1 )] xx (t^2 - 1)

-> (d)/(d t) [(t^2 - 1) ln ( 2 t + 1 )] = (2 t) xx ln ( 2 t + 1 ) + (2)/(2 t + 1) xx (t^2 - 1)

Temos então que a derivada de f (t) é:

f^' (t) = (2 t + 1)^(t^2 - 1) [2 t ln ( 2 t + 1 ) + (2 t ² - 2)/(2 t + 1)]

Resposta

f^' (t) = (2 t + 1)^(t^2 - 1) [2 t ln ( 2 t + 1 ) + (2 t ² - 2)/(2 t + 1)]

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