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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.10 - Ex. 1

Nos exercícios 1 a 5 calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar gráfico.

f x = 2 | x - 3 |

Passo 1

Pessoal, a primeira coisa que podemos fazer é abrir essa função antes de começarmos a trabalhar na questão!

2 x - 6 ,   x ≥ 3 - 2 + 6 , x < 3

Se a função y = f ( x ) está definida em x 1 , então as derivadas à direita e a esquerda de f em x 1 , denotadas por f + ' ( x 1 ) e f - ' ( x 1 ) são definidas por:

f + ' x 1 = lim ∆ x → 0 + ⁡ f x 1 + ∆ x - f x 1 ∆ x = lim x → x 1 + ⁡ f x - f x 1 x - x 1

f - ' x 1 = lim ∆ x → 0 - ⁡ f x 1 + ∆ x - f x 1 ∆ x = lim x → x 1 - ⁡ f x - f x 1 x - x 1

Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais.

Passo 2

Vamos aplicar essa definição na função da nossa questão:

f ' 3 + = lim ∆ x → 0 + ⁡ 2 3 + ∆ x - 6 - 2 ⋅ 3 + 6 ∆ x = 2

f ' 3 - = lim ∆ x → 0 - ⁡ - 2 3 + ∆ x - 6 + 2 ⋅ 3 - 6 ∆ x = - 2

O gráfico da função é:

Resposta

f ' 3 + = 2

f ' 3 - = - 2

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